Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm và thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 373084:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm và thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(K = \sqrt {12a + {{\left( {b - c} \right)}^2}} + \sqrt {12b + {{\left( {a - c} \right)}^2}} + \sqrt {12c + {{\left( {a - b} \right)}^2}} .\)

A. \(\max K = 3\sqrt 6 \)

B. \(\max K = 6\sqrt 3 \)

C. \(\max K = 6\sqrt 2 \)

D. \(\max K = 2\sqrt 6 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373084

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức: \({\left( {x + y + z} \right)^2} \le 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\) và khéo léo biến đổi về dữ kiện \(a + b + c = 3\)mà đề cho.

Giải chi tiết

Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm và thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(K = \sqrt {12a + {{\left( {b - c} \right)}^2}} + \sqrt {12b + {{\left( {a - c} \right)}^2}} + \sqrt {12c + {{\left( {a - b} \right)}^2}} .\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}12a + {\left( {b - c} \right)^2} = 4a.3 + {b^2} - 2bc + {c^2} = 4a.\left( {a + b + c} \right) + {b^2} - 2bc + {c^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{a^2} + 4ab + 4ac + {b^2} + {c^2} - 2bc\end{array}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}12b + {\left( {a - c} \right)^2} = 4{b^2} + 4bc + 4ba + {a^2} + {c^2} - 2ac\\12c + {\left( {a - b} \right)^2} = 4{c^2} + 4ac + 4bc + {a^2} + {b^2} - 2ab\end{array} \right..\)

Giả sử: \(a \le b \le c\, \Rightarrow a \le b \le c \le 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,a + b + c = 3} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức: \({\left( {x + y + z} \right)^2} \le 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {K^2} \le 3.\left[ {12a + {{\left( {b - c} \right)}^2} + 12b + {{\left( {a - c} \right)}^2} + 12c + {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 3.\left[ {\left( {4{a^2} + 4ab + 4ac + {b^2} + {c^2} - 2bc} \right) + \left( {4{b^2} + 4ba + 4bc + {a^2} + {c^2} - 2ac} \right) + \left( {4{c^2} + 4ac + 4bc + {b^2} + {a^2} - 2ab} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 3\left( {6{a^2} + 6{b^2} + 6{c^2} + 6ab + 6bc + 6ac} \right)\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 18\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca} \right)\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 9{\left( {a + b + c} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 9.3 + {9.3^2}\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 108\\ \Leftrightarrow K \le \sqrt {108} = 6\sqrt 3 \end{array}\)Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \,a = b = c = 1.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(K\) là \(6\sqrt 3 \) khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link