Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}

Câu hỏi số 376061:

Vận dụng

Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\)biết \(3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + {3^3}C_n^3 + ... + {3^n}C_n^{n - 1} + {3^n}C_n^n = 65535\) với \(n \in {N^*},\,\,x \ne 0\).

A. 1120.

B. -1120.

C. 112.

D. -112.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376061

Phương pháp giải

+) Tìm \(n\) thông qua dữ kiện đề bài cho.

+) Tìm hệ số không chứa \(x\) dựa vào khai triển nhị thức Newton.

Giải chi tiết

Ta có :

\(\begin{array}{l}3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + {3^3}C_n^3 + ... + {3^n}C_n^{n - 1} + {3^n}C_n^n = 65535\\ \Leftrightarrow {3^0}C_n^0 + 3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + {3^3}C_n^3 + ... + {3^n}C_n^{n - 1} + {3^n}C_n^n = 65535 + {3^0}C_n^0\\ \Leftrightarrow {\left( {3 + 1} \right)^n} = 65536 \Leftrightarrow {4^n} = 65536 \Leftrightarrow n = 8.\end{array}\)

Khai triển với \(n = 8\) ta được:

\({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}.{{\left( { - 2} \right)}^k}.{{\left( {{x^{ - 2}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 4k}}} \)

Khi đó số hạng không chứa \(x\) ứng với:

\(16 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 4\), nên hệ số là: \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.