Cho hàm số \(y = {x^2} - 2x - 2\) có đồ thị là parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 376275:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = {x^2} - 2x - 2\) có đồ thị là parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = x + m\). Giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(O{A^2} + O{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là:

A. \(m = - \frac{5}{2}.\)

B. \(m = \frac{5}{2}.\)

C. \(m = 1.\)

D. \(m = 2.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376275

Phương pháp giải

Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của hai đồ thị hàm số.

Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lý Vi-et để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(O{A^2} + O{B^2}.\)

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

\({x^2} - 2x - 2 = x + m \Leftrightarrow {x^2} - 3x - m - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 9 + 4\left( {m + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow 4m + 17 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{{17}}{4}.\)

Gọi \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right),\,\,\,B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\) là hai giao điểm của hai đồ thị hàm số.

\( \Rightarrow {x_A};\,\,{x_B}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right).\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 3\\{x_A}{x_B} = - m - 2\end{array} \right..\)

Ta có: \(OA = \sqrt {x_A^2 + y_A^2} ,\,\,\,OB = \sqrt {x_B^2 + y_B^2} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} = x_A^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_B^2 = \left( {x_A^2 + x_B^2} \right) + \left( {y_A^2 + y_B^2} \right)\\ = \left( {x_A^2 + x_B^2} \right) + \left[ {{{\left( {{x_A} + m} \right)}^2} + {{\left( {{x_B} + m} \right)}^2}} \right]\\ = x_A^2 + x_B^2 + x_A^2 + x_B^2 + 2m\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + 2{m^2}\\ = 2{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)^2} - 4{x_A}{x_B} + 2m\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + 2{m^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = {2.3^2} + 4\left( {m + 2} \right) + 2m.3 + 2{m^2}\\ = 2{m^2} + 10m + 26 = 2\left( {{m^2} + 5m} \right) + 26\\ = 2{\left( {m + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{27}}{2} \ge \frac{{27}}{2}\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow m + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{5}{2}\,\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(O{A^2} + O{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(m = - \frac{5}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.