Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 3\)

Câu hỏi số 380477:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 3\) đạt cực đại tại \(x = 1\)

A. \(m = 3\)

B. \(m = 1,m = 3\)

C. \(m = 1\)

D. Không tồn tại \(m\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380477

Phương pháp giải

Hàm số có cực đại tại \(x = a\) thì \(f'\left( a \right) = 0\) và \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ \(\left( + \right)\) sang \(\left( - \right)\) khi đi qua điểm \(x = a\).

Giải chi tiết

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4mx + {m^2}\).

\(x = 1\) là điểm cực đại của hàm số đã cho nên

\(\begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\ \Leftrightarrow {3.1^2} - 4m.1 + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(m = 1\) ta có :

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1 = \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình này nhận \(x = 1\) là điểm cực tiểu (không thỏa mãn)

Với \(m = 3\) ta có :

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 9 = 3\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình này nhận \(x = 1\) là điểm cực đại nên \(m = 3\) thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.