Cho \(A = 1 - \frac{3}{4} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{4}}

Câu hỏi số 380594:

Vận dụng cao

Cho \(A = 1 - \frac{3}{4} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} - ... - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2017}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2018}}\).

Chứng tỏ \(A\) không phải là một số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380594

Phương pháp giải

Nhân \(A\) với \(\frac{3}{4}\) rồi thực hiện cộng \(A\) với \(\frac{3}{4}A\). Thu gọn kết quả và suy ra \(A\).

Giải chi tiết

\(A = 1 - \frac{3}{4} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} - ... - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2017}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2018}}\)

\( \Rightarrow \frac{3}{4}A = \frac{3}{4} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} + ...\) \( + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2017}} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2018}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2019}}\)

\( \Rightarrow A + \frac{3}{4}A = 1 + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2019}}\)

\( \Rightarrow \frac{7}{4}A = 1 + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2019}}\)

\( \Rightarrow A = \left[ {1 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{2019}}} \right].\frac{4}{7}\)

Suy ra \(A > 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2019}} < \frac{3}{4} \Rightarrow A < \left( {1 + \frac{3}{4}} \right).\frac{4}{7} = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(0 < A < 1\).

Vậy \(A\) không phải là số nguyên.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link