Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có góc \(B\) bằng \(60^\circ \). Vẽ \(AH\) vuông góc với \(BC\)

Câu hỏi số 380591:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có góc \(B\) bằng \(60^\circ \). Vẽ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = AH.\) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(HD\).

a) Chứng minh \(\Delta AHI = \Delta ADI\). Từ đó suy ra \(AI \bot HD\).

b) Tia \(AI\) cắt cạnh \(HC\) tại điểm \(K\). Chứng minh \(\Delta AHK = \Delta ADK\) từ đó suy ra \(AB//KD.\)

c) Trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE = AH\). Chứng minh \(HB = HK\) và ba điểm \(D,K,E\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380591

Phương pháp giải

a) Sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh cạnh cạnh của tam giác

b) Sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh góc cạnh của tam giác và quan hệ từ vuông góc đến song song

c) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác và tiên đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\Delta AHI = \Delta ADI\). Từ đó suy ra \(AI \bot HD\).

Xét tam giác \(AHI\) và tam giác \(ADI\) có:

+) \(AD = AH\left( {gt} \right)\)

+) \(AI\) là cạnh chung

+) \(ID = IH\) (vì \(I\) là trung điểm cạnh \(DH\))

Nên \(\Delta AHI = \Delta ADI\,\,\left( {c.c.c} \right)\) suy ra \(\widehat {AID} = \widehat {AIH}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Lại có \(\widehat {AID} + \widehat {AIH} = {180^0}\) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {AID} = \widehat {AIH} = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\)

Hay \(AI \bot DH\,\left( {dpcm} \right)\)

Suy ra được \(AI \bot HD\).

b) Tia \(AI\) cắt cạnh \(HC\) tại điểm \(K\). Chứng minh \(\Delta AHK = \Delta ADK\) từ đó suy ra \(AB//KD.\)

Theo câu a) ta có: \(\Delta AHI = \Delta ADI\,\,\left( {c.c.c} \right)\) suy ra \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Xét tam giác \(ADK\) và tam giác \(AHK\) có:

+) \(AD = AH\left( {gt} \right)\)

+) \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}\) (cmt)

+) \(AK\) là cạnh chung

Nên \(\Delta ADK = \Delta AHK\,\,\left( {c.g.c} \right)\) suy ra \(\widehat {ADK} = \widehat {AHK} = {90^0}\) (do \(AH \bot AB\))

Suy ra \(DK \bot AC\)

Lại có \(AB \bot AC\) (do \(\widehat A = {90^0}\))

Suy ra \(DK//AB\) (vì cùng vuông góc với \(AC\)) (đpcm)

c) Trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE = AH\). Chứng minh \(HB = HK\) và ba điểm \(D,K,E\) thẳng hàng.

Tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) có \(\widehat {HBA} = {60^0}\left( {gt} \right)\) nên \(\widehat {HAB} = {180^0} - \widehat {AHB} - \widehat {HBA} = {180^0} - {90^0} - {60^0} = {30^0}\)

Lại có \(\widehat {HAB} + \widehat {HAK} + \widehat {KAC} = {90^0}\) mà \(\widehat {HAK} = \widehat {DAK}\) (theo câu b)

Suy ra \(\widehat {HAK} = \frac{{{{90}^0} - \widehat {HAB}}}{2} = \frac{{{{90}^0} - {{30}^0}}}{2} = {30^0}\)

Do đó \(\widehat {HAK} = \widehat {HAB}\left( { = {{30}^0}} \right)\)

Xét tam giác \(ABH\) và tam giác \(AKH\) có:

+) \(\widehat {HAK} = \widehat {HAB}\left( {cmt} \right)\)

+) \(AH\) cạnh chung

+) \(\widehat {AHB} = \widehat {AHK} = {90^0}\,\,\left( {do\,\,AH \bot BC} \right)\)

Nên \(\Delta ABH = \Delta AKH\,\left( {g - c - g} \right)\) suy ra \(HB = HK\) (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét tam giác \(ABH\) và tam giác \(EKH\) có:

+) \(HB = HK\,\left( {cmt} \right)\)

+) \(\widehat {AHB} = \widehat {KHE}\) (hai góc đối đỉnh)

+) \(AH = HE\,\left( {gt} \right)\)

Nên \(\Delta ABH = \Delta EKH\,\left( {c - g - c} \right)\) suy ra \(\widehat {KEH} = \widehat {HAB}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(KE//AB\) (*)

Theo câu a) ta có \(DK//AB\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(D,K,E\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link