Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên

Câu hỏi số 381110:

Vận dụng

Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 1\(d{m^2}\) và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu ?

A. \(\dfrac{1}{{\sqrt \pi }}dm.\)

B. \(\dfrac{1}{{\sqrt[3]{\pi }}}dm.\)

C. \(\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{2\pi }}}}dm.\)

D. \(\dfrac{1}{{\sqrt {2\pi } }}dm.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381110

Phương pháp giải

- Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ và công thức tính thể tích hình trụ.

- Sử dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Gọi \(R,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.

Ta có \(V = \pi {R^2}h = 1 \Rightarrow h = \dfrac{1}{{\pi {R^2}}}\)

Mặt khác

\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh\\ \Rightarrow {S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi R.\dfrac{1}{{\pi {R^2}}}\\ \Leftrightarrow {S_{tp}} = 2\pi {R^2} + \dfrac{2}{R} = 2\pi {R^2} + \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R}\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số \(2\pi {R^2},\,\,\dfrac{1}{R},\,\,\dfrac{1}{R}\) ta có:

\(2\pi {R^2} + \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\dfrac{1}{R}.\dfrac{1}{R}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi }}\).

\( \Rightarrow {S_{tp}} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi }}\).

\( \Rightarrow {S_{tp\,\,\min }} = 3\sqrt[3]{{2\pi }}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2\pi {R^2} = \dfrac{1}{R} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{1}{{2\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{{2\pi }}}}\,\,\left( {dm} \right)\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.