Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn $\left( {O,R} \right)$ và \(\left( {O',R}

Câu hỏi số 381824:

Vận dụng

Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn $\left( {O,R} \right)$ và $\left( {O',R} \right).$ Biết rằng tồn tại dây cung $AB$ của đường tròn $\left( {O,R} \right)$ sao cho tam giác $O'AB$ đều và góc giữa hai mặt phẳng $\left( {O'AB} \right)$ và mặt phẳng chứa đường tròn $\left( {O,R} \right)$ bằng ${60^{\rm{o}}}.$ Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho.

$\dfrac{{6\sqrt 7 \pi {R^2}}}{7}.$

$2\sqrt 3 \pi {R^2}.$

$4\pi {R^2}.$

$\dfrac{{3\sqrt 7 \pi {R^2}}}{7}.$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381824

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa $\left( {O'AB} \right)$ và $\left( {OAB} \right)$ .

- Đặt $h = OO'$ , áp dụng định lí Pytago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính $h$ theo $R$ .

- Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy $R$ , chiều cao $h$ là: ${S_{xq}} = \pi {R^2}h$ .

Giải chi tiết

Gọi $h = OO'$ là chiều cao của hình trụ.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ .

Tam giác $OAB$ cân tại $O \Rightarrow OH \bot AB$ .

Lại có $OO' \bot AB \Rightarrow O'H \bot AB$ .

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {O'AB} \right) \cap \left( {OAB} \right) = AB\\\left( {O'AB} \right) \supset O'H \bot AB\\\left( {OAB} \right) \supset OH \bot AB\end{array} \right.$

$\Rightarrow \angle \left( {\left( {O'AB} \right);\left( {OAB} \right)} \right) = \angle \left( {O'H;OH} \right) = \angle O'HO = {60^0}$ .

Xét tam giác vuông $OO'H$ có: $O'H = \dfrac{{OO'}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{2h}}{{\sqrt 3 }}$ và $OH = OO'.\cot {60^0} = \dfrac{h}{{\sqrt 3 }}$ .

Tam giasc $O'AB$ đều nên $O'H = \dfrac{{O'A\sqrt 3 }}{2}$ .

$\Rightarrow O'A = \dfrac{{2O'H}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2.\dfrac{{2h}}{{\sqrt 3 }}}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4h}}{3} = AB$ .

$\Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{2h}}{3}$ .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $OAH$ có:

$OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{h}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + \left( {{{\dfrac{{2h}}{3}}^2}} \right)} = \dfrac{{h\sqrt 7 }}{3} = R$ $\Leftrightarrow h = \dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }}$ .

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: ${S_{xq}} = \pi {R^2}h = \pi .{R^2}.\dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{3\sqrt 7 \pi {R^3}}}{7}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.