Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) và \(\left( {O',R}
Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) và \(\left( {O',R} \right).\) Biết rằng tồn tại dây cung \(AB\) của đường tròn \(\left( {O,R} \right)\)sao cho tam giác \(O'AB\) đều và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) và mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) bằng \({60^{\rm{o}}}.\) Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Xác định góc giữa \(\left( {O'AB} \right)\) và \(\left( {OAB} \right)\).
- Đặt \(h = OO'\), áp dụng định lí Pytago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính \(h\) theo \(R\).
- Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy \(R\), chiều cao \(h\) là: \({S_{xq}} = \pi {R^2}h\).
Gọi \(h = OO'\) là chiều cao của hình trụ.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).
Tam giác \(OAB\) cân tại \(O \Rightarrow OH \bot AB\).
Lại có \(OO' \bot AB \Rightarrow O'H \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {O'AB} \right) \cap \left( {OAB} \right) = AB\\\left( {O'AB} \right) \supset O'H \bot AB\\\left( {OAB} \right) \supset OH \bot AB\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {O'AB} \right);\left( {OAB} \right)} \right) = \angle \left( {O'H;OH} \right) = \angle O'HO = {60^0}\).
Xét tam giác vuông \(OO'H\) có: \(O'H = \dfrac{{OO'}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{2h}}{{\sqrt 3 }}\) và \(OH = OO'.\cot {60^0} = \dfrac{h}{{\sqrt 3 }}\).
Tam giasc \(O'AB\) đều nên \(O'H = \dfrac{{O'A\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow O'A = \dfrac{{2O'H}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2.\dfrac{{2h}}{{\sqrt 3 }}}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4h}}{3} = AB\).
\( \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{2h}}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAH\) có:
\(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{h}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + \left( {{{\dfrac{{2h}}{3}}^2}} \right)} = \dfrac{{h\sqrt 7 }}{3} = R\)\( \Leftrightarrow h = \dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }}\).
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = \pi {R^2}h = \pi .{R^2}.\dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{3\sqrt 7 \pi {R^3}}}{7}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
