Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) và \(\left( {O',R}

Câu hỏi số 381824:

Vận dụng

Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) và \(\left( {O',R} \right).\) Biết rằng tồn tại dây cung \(AB\) của đường tròn \(\left( {O,R} \right)\)sao cho tam giác \(O'AB\) đều và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) và mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) bằng \({60^{\rm{o}}}.\) Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho.

A. \(\dfrac{{6\sqrt 7 \pi {R^2}}}{7}.\)

B. \(2\sqrt 3 \pi {R^2}.\)

C. \(4\pi {R^2}.\)

D. \(\dfrac{{3\sqrt 7 \pi {R^2}}}{7}.\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:381824

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa \(\left( {O'AB} \right)\) và \(\left( {OAB} \right)\).

- Đặt \(h = OO'\), áp dụng định lí Pytago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính \(h\) theo \(R\).

- Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy \(R\), chiều cao \(h\) là: \({S_{xq}} = \pi {R^2}h\).

Giải chi tiết

Gọi \(h = OO'\) là chiều cao của hình trụ.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Tam giác \(OAB\) cân tại \(O \Rightarrow OH \bot AB\).

Lại có \(OO' \bot AB \Rightarrow O'H \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {O'AB} \right) \cap \left( {OAB} \right) = AB\\\left( {O'AB} \right) \supset O'H \bot AB\\\left( {OAB} \right) \supset OH \bot AB\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {O'AB} \right);\left( {OAB} \right)} \right) = \angle \left( {O'H;OH} \right) = \angle O'HO = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(OO'H\) có: \(O'H = \dfrac{{OO'}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{2h}}{{\sqrt 3 }}\) và \(OH = OO'.\cot {60^0} = \dfrac{h}{{\sqrt 3 }}\).

Tam giasc \(O'AB\) đều nên \(O'H = \dfrac{{O'A\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow O'A = \dfrac{{2O'H}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2.\dfrac{{2h}}{{\sqrt 3 }}}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4h}}{3} = AB\).

\( \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{2h}}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAH\) có:

\(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{h}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + \left( {{{\dfrac{{2h}}{3}}^2}} \right)} = \dfrac{{h\sqrt 7 }}{3} = R\)\( \Leftrightarrow h = \dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }}\).

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = \pi {R^2}h = \pi .{R^2}.\dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{3\sqrt 7 \pi {R^3}}}{7}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.