Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ và có bảng biến thiên

Câu hỏi số 381828:

Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ và có bảng biến thiên như sau

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( {x - 1} \right) = \dfrac{m}{{{x^2} - 6x + 12}}$ có hai nghiệm phân biệt trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ . Tổng các phần tử của $S$ là

- 297

$- 297$ .

- 294

$- 294$ .

- 75

$- 75$ .

- 72

$- 72$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381828

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ rồi xét tính đơn điệu của hàm số mới, suy ra giá trị của m.

Giải chi tiết

Ta có: $f\left( {x - 1} \right) = \dfrac{m}{{{x^2} - 6x + 12}}$ $\Leftrightarrow f\left( {x - 1} \right).\left( {{x^2} - 6x + 12} \right) = m$ .

Đặt $x - 1 = t \Rightarrow t \in \left[ {1;3} \right]$ .

Khi đó ta có $m = f\left( t \right)\left( {{t^2} - 4t + 7} \right) = g\left( t \right)$ .

$g'\left( t \right) = f'\left( t \right)\left( {{t^2} - 4t + 7} \right) + \left( {2t - 4} \right).f\left( t \right)$ .

$\begin{array}{l} + )\,\,1 \le t \le 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( t \right) > 0\\{t^2} - 4t + 7 > 0\\f\left( t \right) < 0\\2t - 4 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow y' \ge 0\\ + )\,\,2 < t \le 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( t \right) < 0\\{t^2} - 4t + 7 > 0\\f\left( t \right) < 0\\2t - 4 > 0\end{array} \right. \Rightarrow y' < 0\end{array}$

Ta có: $m = f\left( t \right)\left( {{t^2} - 4t + 7} \right) = g\left( t \right)$

$g\left( 1 \right) = 4f\left( 1 \right) = - 24;\,\,g\left( 2 \right) = 3f\left( 2 \right) = - 3,$ $g\left( 3 \right) = 4f\left( 3 \right) = - 12$ .

Ta có bảng biến thiên hàm số $y = g\left( x \right)$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình $f\left( {x - 1} \right) = \dfrac{m}{{{x^2} - 6x + 12}}$ có 2 nghiệm trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ khi:

$- 12 \le m < - 3;\,\,\,m \in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m \in \left\{ { - 12; - 11;... - 4} \right\}$ $\Rightarrow S = - 72.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.