Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), với \(x,\,y\) là các số thực

Câu hỏi số 381831:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), với \(x,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{x - 2y}}{{1 + xy}} = 12xy - 3x + 6y + 14\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(5x - 90y + 1 = 0\) có phương trình là

A. \(5x - 90y - 20 = 0\)

B. \(5x - 90y + 50 = 0\).

C. \(5x - 90y + 20 = 0\).

D. \(5x - 90y - 50 = 0\).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:381831

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\dfrac{{x - 2y}}{{1 + xy}} = 12xy - 3x + 6y + 14\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 2y} \right) - {\log _2}\left( {1 + xy} \right) = 12xy - 3\left( {x - 2y} \right) + 14\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 2y} \right) + 3\left( {x - 2y} \right) = {\log _2}\left( {1 + xy} \right) + 2 + 3\left( {4 + 4xy} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 2y} \right) + 3\left( {x - 2y} \right) = {\log _2}\left( {4 + 4xy} \right) + 3\left( {4 + 4xy} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(y = {\log _2}x + 3x\,\,\,\,\left( {x > 0} \right)\) ta có

\(y' = \dfrac{1}{{x\ln 2}} + 3 > 0\,\,\forall x > 0\), do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( {x - 2y} \right) = f\left( {4 + 4xy} \right)\)\( \Leftrightarrow x - 2y = 4 + 4xy\)

\( \Leftrightarrow x - 4 = y\left( {4x + 2} \right) \Leftrightarrow y = \dfrac{{x - 4}}{{4x + 2}}\,\,\left( {x > 0} \right)\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{18}}{{{{\left( {4x + 2} \right)}^2}}} > 0.\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(5x - 90y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{{18}}x + \dfrac{1}{{90}}\)

Nên \(\dfrac{{18}}{{{{\left( {4x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{18}} \Leftrightarrow {\left( {4x + 2} \right)^2} = {18^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 5\end{array} \right.\)

+) \(x = 4 \Rightarrow y = 0\) khi đó phương trình tiếp tuyến là \(y = \dfrac{1}{{18}}\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow x - 18y - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 5x - 90y - 20 = 0\) .

+) \(x = - 5 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\) khi đó phương trình tiếp tuyến là \(y = \dfrac{1}{{18}}\left( {x + 5} \right) + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 5x - 90y + 70 = 0\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.