Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng \(a\).

Câu hỏi số 381832:

Vận dụng

Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng \(a\). Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên. (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá ban đầu).

A. \(\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt[3]{4}}}.\)

B. \(\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt[3]{2}}}.\)

C. \(\dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt 3 }}.\)

D. \(\dfrac{{{a^2}}}{4}.\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:381832

Phương pháp giải

Sử dụng tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Gọi V là thể tích của hình chóp đã cho.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với đáy cắt \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) lần lượt tại \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\).

Nên \(MNPQ\) là hình vuông.

Đặt \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{{SQ}}{{SD}} = k\).

Ta có \(\dfrac{{{V_{SMNP}}}}{{{V_{SABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = {k^3}\) \( \Rightarrow {V_{SMNP}} = \dfrac{{{k^3}}}{2}V\)

Tương tự \({V_{SMPQ}} = \dfrac{{{k^3}}}{2}V\) \( \Rightarrow {V_{SMNPQ}} = {k^3}V\)

Mà theo giả thiết ta có \({V_{SMNPQ}} = \dfrac{1}{2}V\).

Nên \({k^3} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow k = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).

Mà \(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = k = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\) \( \Rightarrow MN = \dfrac{a}{{\sqrt[3]{2}}}\).

\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = M{N^2} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt[3]{4}}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.