Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \). Cạnh bên

Câu hỏi số 381833:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và đường thẳng \(SC\) tạo với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) một góc \(30^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).

A. \(V = \sqrt 3 {a^3}.\)

B. \(V = \dfrac{{2{a^3}}}{3}.\)

C. \(V = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}.\)

D. \(V = \dfrac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}.\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:381833

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

- Sử dụng định lí Pytago tính chiều cao của khối chóp.

- Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp \({V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Giải chi tiết

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).

Mà \(BA \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow SB\) là hình chiếu của \(SC\) trên \(\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SB} \right) = \angle BSC = {30^0}\).

Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có \(\angle BSC = {30^0};\,\,BC = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow SB = BC.\cot {30^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAB\) ta có:

\(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {9{a^2} - {a^2}} = 2a\sqrt 2 \).

Ta có: \({S_{ABCD}} = AB.BC = a.a\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 \).

Vậy \(V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}}\) \( = \dfrac{1}{3}.2a\sqrt 2 .{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.