Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$ , $BC = a\sqrt 3$ . Cạnh bên

Câu hỏi số 381833:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$ , $BC = a\sqrt 3$ . Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ một góc $30^\circ$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$ .

$V = \sqrt 3 {a^3}.$

$V = \dfrac{{2{a^3}}}{3}.$

$V = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}.$

$V = \dfrac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}.$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381833

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ .

- Sử dụng định lí Pytago tính chiều cao của khối chóp.

- Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp ${V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h$ .

Giải chi tiết

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ .

Mà $BA \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SBC} \right)$ .

$\Rightarrow SB$ là hình chiếu của $SC$ trên $\left( {SAB} \right)$ .

$\Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SB} \right) = \angle BSC = {30^0}$ .

Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ có $\angle BSC = {30^0};\,\,BC = a\sqrt 3$ .

$\Rightarrow SB = BC.\cot {30^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAB$ ta có:

$SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {9{a^2} - {a^2}} = 2a\sqrt 2$ .

Ta có: ${S_{ABCD}} = AB.BC = a.a\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3$ .

Vậy $V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}}$ $= \dfrac{1}{3}.2a\sqrt 2 .{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.