Cho $a > 0,b > 0$ thỏa mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b

Câu hỏi số 381839:

Vận dụng cao

Cho $a > 0,b > 0$ thỏa mãn ${\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2$ . Giá trị của $a + 2b$ bằng:

6

$6$

9

$9$ .

\frac{27}{4}

$\dfrac{{27}}{4}$ .

\frac{20}{3}

$\dfrac{{20}}{3}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381839

Phương pháp giải

Sử dụng định lí cô-si để suy ra dấu bằng rồi tìm a,b.

Giải chi tiết

Ta có ${\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2$

Áp dụng định lí Cô-si ta có:

$16{a^2} + {b^2} \ge 2\sqrt {16{a^2}.{b^2}} = 8ab$ $\Rightarrow 16{a^2} + {b^2} + 1 \ge 8ab + 1$

$\Rightarrow 2 = {\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)$ $\ge {\log _{4a + 5b + 1}}\left( {8ab + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)$

Tiếp tục áp dụng định lí Cô- si ta có:

${\log _{4a + 5b + 1}}\left( {8ab + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)$ $\ge 2\sqrt {{{\log }_{4a + 5b + 1}}\left( {8ab + 1} \right).{{\log }_{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)} = 2$ .

Do đó dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{\left( {4a + 5b + 1} \right)}}\left( {8ab + 1} \right) = 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\4a + 5b = 8ab\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{4}\\b = 3\end{array} \right.$

Khi đó $a + 2b = \dfrac{3}{4} + 2.3 = \dfrac{{27}}{4}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.