Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b

Câu hỏi số 381839:

Vận dụng cao

Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\). Giá trị của \(a + 2b\) bằng:

A. \(6\)

B. \(9\).

C. \(\dfrac{{27}}{4}\).

D. \(\dfrac{{20}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:381839

Phương pháp giải

Sử dụng định lí cô-si để suy ra dấu bằng rồi tìm a,b.

Giải chi tiết

Ta có \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\)

Áp dụng định lí Cô-si ta có:

\(16{a^2} + {b^2} \ge 2\sqrt {16{a^2}.{b^2}} = 8ab\)\( \Rightarrow 16{a^2} + {b^2} + 1 \ge 8ab + 1\)

\( \Rightarrow 2 = {\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\) \( \ge {\log _{4a + 5b + 1}}\left( {8ab + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\)

Tiếp tục áp dụng định lí Cô- si ta có:

\({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {8ab + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\) \( \ge 2\sqrt {{{\log }_{4a + 5b + 1}}\left( {8ab + 1} \right).{{\log }_{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)} = 2\).

Do đó dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{\left( {4a + 5b + 1} \right)}}\left( {8ab + 1} \right) = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\4a + 5b = 8ab\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{4}\\b = 3\end{array} \right.\)

Khi đó \(a + 2b = \dfrac{3}{4} + 2.3 = \dfrac{{27}}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.