Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b
Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\). Giá trị của \(a + 2b\) bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng định lí cô-si để suy ra dấu bằng rồi tìm a,b.
Ta có \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\)
Áp dụng định lí Cô-si ta có:
\(16{a^2} + {b^2} \ge 2\sqrt {16{a^2}.{b^2}} = 8ab\)\( \Rightarrow 16{a^2} + {b^2} + 1 \ge 8ab + 1\)
\( \Rightarrow 2 = {\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\) \( \ge {\log _{4a + 5b + 1}}\left( {8ab + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\)
Tiếp tục áp dụng định lí Cô- si ta có:
\({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {8ab + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\) \( \ge 2\sqrt {{{\log }_{4a + 5b + 1}}\left( {8ab + 1} \right).{{\log }_{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)} = 2\).
Do đó dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{\left( {4a + 5b + 1} \right)}}\left( {8ab + 1} \right) = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\4a + 5b = 8ab\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{4}\\b = 3\end{array} \right.\)
Khi đó \(a + 2b = \dfrac{3}{4} + 2.3 = \dfrac{{27}}{4}\).
Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
