Trong không gian \(Oxyz\) cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {2; - 1;3} \right)\), \(B\left( {4;0;1} \right)\),

Câu hỏi số 382632:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\) cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {2; - 1;3} \right)\), \(B\left( {4;0;1} \right)\), \(C\left( { - 10;5;3} \right)\). Gọi \(I\) là chân đường phân giác trong của góc \(B\). Viết phương trình mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(IB\).

A. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 20\)

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 2\)

C. \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 26\)

D. \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 29\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:382632

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí đường phân giác \(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\) xác định tọa độ điểm \(I\).

- Tính \(R = IB\).

- Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + \left( {z - {z_0}} \right) = {R^2}\).

Giải chi tiết

Vì \(I\) là chân đường phân giác trong của góc \(B\) nên \(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\) (Định lí đường phân giác).

Ta có:

\(\begin{array}{l}BA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} = 3\\BC = \sqrt {{{\left( { - 14} \right)}^2} + {5^2} + {2^2}} = 15\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{IA}}{{IC}} = \frac{3}{{15}} = \frac{1}{5} \Rightarrow IC = 5IA\).

Mà \(\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IC} \) là hai vectơ ngược hướng nên \(\overrightarrow {IC} = - 5\overrightarrow {IA} \).

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {IC} = \left( { - 10 - a;5 - b;3 - c} \right)\) và \(\overrightarrow {IA} = \left( {2 - a; - 1 - b;3 - c} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10 - a = - 10 + 5a\\5 - b = 5 + 5b\\3 - c = - 15 + 5c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {0;0;3} \right)\).

Ta có \(IB = \sqrt {{4^2} + {0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 = R\).

Vậy phương trình mặt cầu \(I\), bán kính \(IB\) là: \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 20\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.