Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng \(2a\), bán kính đáy bằng \(3a\). Một thiết diện đi qua

Câu hỏi số 382636:

Vận dụng

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng \(2a\), bán kính đáy bằng \(3a\). Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bàng \(\frac{{3a}}{2}\). Diện tích của thiết diện đó bằng:

A. \(\frac{{24{a^2}\sqrt 3 }}{7}\)

B. \(\frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{7}\)

C. \(12{a^2}\sqrt 3 \)

D. \(\frac{{12{a^2}}}{7}\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

- Xác định khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng thiết diện.

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Pytago để tính cạnh đáy và chiểu cao của thiết diện, từ đó tính diện tích thiết diện.

Giải chi tiết

Gọi thiết diện qua đỉnh là \(\Delta SAB\) ta có \(SA = SB = l\) nên \(\Delta SAB\) cân tại \(S\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB\) và \(OH \bot AB\).

\( \Rightarrow AB \bot \left( {SOH} \right)\).

Trong \(\left( {SOH} \right)\) kẻ \(OK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OK\,\,\left( {AB \bot \left( {SOH} \right)} \right)\\OK \bot SH\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow OK = \frac{{3a}}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOH\) có:

\(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}}\)\( \Leftrightarrow OH = \frac{{6a\sqrt 7 }}{7}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOH\) có:

\(SH = \sqrt {S{O^2} + O{H^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{6a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}} \) \( = \frac{{8a\sqrt 7 }}{7}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAH\) có:

\(AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{6a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}} \) \( = \frac{{3a\sqrt {21} }}{7}\).

\( \Rightarrow AB = 2AH = \frac{{6a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy diện tích tam giác \(SAB\) là: \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SH.AB\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{8a\sqrt 7 }}{7}.\frac{{6a\sqrt {21} }}{7}\) \( = \frac{{24{a^2}\sqrt 3 }}{7}\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:382636

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.