Trong không gian \(Oxyz\) cho 3 điểm \(A\left( {9;0;0} \right),\,\,B\left( {0;6;6} \right)\), \(C\left( {0;0; - 16}
Trong không gian \(Oxyz\) cho 3 điểm \(A\left( {9;0;0} \right),\,\,B\left( {0;6;6} \right)\), \(C\left( {0;0; - 16} \right)\) và điểm \(M\) chạy trên mặt phẳng \(Oxy\). Tìm giá trị lớn nhất của \(S = \left| {\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right| - 3MC} \right|\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), tìm tọa độ điểm \(I\). Chứng minh \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right| = 3MI\).
- Gọi \(C'\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(\left( {Oxy} \right)\), tìm tọa độ điểm \(C'\).
- Sử dụng BĐT \(\left| {MI - MC'} \right| \le IC'\), tìm GTLN của \(S\).
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) ta có:
\(\overrightarrow {IA} = \left( {9 - a; - b; - c} \right);\,\,\overrightarrow {IB} = \left( { - a;6 - b;6 - c} \right)\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - a - 2a = 0\\ - b + 12 - 2b = 0\\ - c + 12 - 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\\c = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {3;4;4} \right)\).
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right) = 3\overrightarrow {MI} \end{array}\)
\( \Rightarrow S = \left| {\left| {3\overrightarrow {MI} } \right| - 3MC} \right| = 3\left| {MI - MC} \right|\).
Dễ dàng nhận thấy \(I,\,\,C\) nằm khác phía đối với \(\left( {Oxy} \right)\).
Gọi \(C'\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(\left( {Oxy} \right)\) thì \(C'\left( {0;0;16} \right)\).
Theo tính chất đối xứng có \(MC = MC'\).
\( \Rightarrow \left| {MI - MC} \right| = \left| {MI - MC'} \right| \le IC'\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M,\,\,I,\,\,C'\) thẳng hàng.
Khi đó \({S_{\max }} = 3IC' = 3\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{12}^2}} = 39\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
