Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có \(SA = 2\). Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là trung của cạnh
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có \(SA = 2\). Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là trung của cạnh \(SA,\,\,SC\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) biết \(BD \bot AE\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Gọi \(F\) là trung điểm của \(SE\), suy ra \(DF \bot BD\).
- Đặt \(AB = BC = CA = x\), tính \(BD,\,\,DF,\,\,BF\).
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tìm \(x\).
- Tính chiều cao và diện tích đáy của hình chóp, áp dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}{S_{day}}.h\).
Đặt \(AB = BC = CA = x\).
Gọi \(F\) là trung điểm của \(SE\) ta có \(DF\) là đường trung bình của tam giác \(SAE\) nên \(DF\parallel AE\).
Mà \(AE \bot BD\) nên \(DF \bot BD \Rightarrow \Delta BDF\) vuông tại \(D\).
Xét tam giác \(SAB\) có: \(B{D^2} = \frac{{A{B^2} + S{B^2}}}{2} - \frac{{S{A^2}}}{4}\)\( = \frac{{{x^2} + 4}}{2} - \frac{4}{4}\) \( = \frac{{{x^2}}}{2} + 1\).
CMTT ta có \(A{E^2} = \frac{{{x^2}}}{2} + 1 \Rightarrow D{F^2} = \frac{{{x^2}}}{8} + \frac{1}{4}\).
Xét tam giác \(SBC\) có:
\(\cos \angle BSC = \frac{{S{B^2} + S{C^2} - B{C^2}}}{{2SB.SC}}\) \( = \frac{{4 + 4 - {x^2}}}{{2.2.2}} = 1 - \frac{{{x^2}}}{8}\).
Xét tam giác \(SBF\) có:
\(\begin{array}{l}B{F^2} = S{B^2} + S{F^2} - 2SB.SF.\cos \angle BSC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {2^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 2.2.\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{17}}{4} - 2 + \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{9}{4} + \frac{{{x^2}}}{4}\end{array}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BDF\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,B{F^2} = B{D^2} + D{F^2}\\ \Leftrightarrow \frac{9}{4} + \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{{{x^2}}}{2} + 1 + \frac{{{x^2}}}{8} + \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{3{x^2}}}{8} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)
Gọi \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có: \(CM = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 2 \) \( \Rightarrow CO = \frac{2}{3}CM = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOC\) có:
\(SO = \sqrt {S{C^2} - C{O^2}} \) \( = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 7 }}{3}\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\) nên \({S_{\Delta ABC}} = {\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}}\) \( = \frac{1}{3}.\frac{{2\sqrt 7 }}{3}.\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)\( = \frac{{4\sqrt {21} }}{{27}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
