Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là

Câu hỏi số 382638:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là tâm các hình vuông \(ABB'A',\,\,A'B'C'D'\), \(ADD'A'\) và \(CDD'C'\). Tính thể tích tứ diện \(MNPR\) với \(R\) là trung điểm \(BQ\).

A. \(\frac{1}{{12}}\)

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\)

C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{{24}}\)

D. \(\frac{1}{{24}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:382638

Phương pháp giải

- Gắn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ các điểm \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,R\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện \({V_{MNPR}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MR} } \right|\).

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:

\(A'\left( {1;0;0} \right);\,\,B\left( {0;0;1} \right) \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right)\)

\(C'\left( {0;1;0} \right) \Rightarrow N\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)\).

\(D\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow P\left( {1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

\(C'\left( {0;1;0} \right);\,\,D\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow Q\left( {\frac{1}{2};1;\frac{1}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow R\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\); \(\overrightarrow {MP} = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)\); \(\overrightarrow {MR} = \left( { - \frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right)\) .

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\frac{1}{4}; - \frac{1}{4}; - \frac{1}{4}} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MR} = \frac{1}{4}.\left( { - \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4}.\frac{1}{2} - \frac{1}{4}.\frac{1}{4} = - \frac{1}{4}\end{array}\)

Vậy \({V_{MNPR}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MR} } \right| = \frac{1}{{24}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.