Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là

Câu hỏi số 382638:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là tâm các hình vuông \(ABB'A',\,\,A'B'C'D'\), \(ADD'A'\) và \(CDD'C'\). Tính thể tích tứ diện \(MNPR\) với \(R\) là trung điểm \(BQ\).

A. \(\frac{1}{{12}}\)

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\)

C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{{24}}\)

D. \(\frac{1}{{24}}\)

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

- Gắn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ các điểm \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,R\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện \({V_{MNPR}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MR} } \right|\).

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:

\(A'\left( {1;0;0} \right);\,\,B\left( {0;0;1} \right) \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right)\)

\(C'\left( {0;1;0} \right) \Rightarrow N\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)\).

\(D\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow P\left( {1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

\(C'\left( {0;1;0} \right);\,\,D\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow Q\left( {\frac{1}{2};1;\frac{1}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow R\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\); \(\overrightarrow {MP} = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)\); \(\overrightarrow {MR} = \left( { - \frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right)\) .

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\frac{1}{4}; - \frac{1}{4}; - \frac{1}{4}} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MR} = \frac{1}{4}.\left( { - \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4}.\frac{1}{2} - \frac{1}{4}.\frac{1}{4} = - \frac{1}{4}\end{array}\)

Vậy \({V_{MNPR}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MR} } \right| = \frac{1}{{24}}\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:382638

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.