Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác cân, $AB = AC = 5a,BC = 6a$ và các mặt bên tạo với đáy

Câu hỏi số 383119:

Vận dụng

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác cân, $AB = AC = 5a,BC = 6a$ và các mặt bên tạo với đáy một góc ${60^0}$ . Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

6 \sqrt{2} a^{3}

$6\sqrt 2 {a^3}$

3 \sqrt{3} a^{3}

$3\sqrt 3 {a^3}$

6 \sqrt{3} a^{3}

$6\sqrt 3 {a^3}$

3 \sqrt{2} a^{3}

$3\sqrt 2 {a^3}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383119

Phương pháp giải

- Dựng hình chiếu của $S$ trên mặt đáy, từ đó xác định góc giữa các mặt bên và mặt đáy.

- Tính diện tích đáy, chiều cao dựa vào các kiến thức hình học đã biết.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$ .

Giải chi tiết

Kẻ $SH \bot \left( {ABC} \right)$ và $HA',HB',HC'$ lần lượt vuông góc với $BC,CA,AB$ . Theo định lí ba đường vuông góc ta có $SA' \bot BC,SB' \bot CA,SC' \bot AB$

Từ đó suy ra $\widehat {SA'H} = \widehat {SB'H} = \widehat {SC'H} = {60^0}$ .

$\Rightarrow \Delta SHA' = \Delta SHB' = \Delta SHC'$ $\Rightarrow HA' = HB' = HC'$

Do đó $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ . Do tam giác cân ở $A$ nên $AH$ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

$\Rightarrow A,H,A'$ thẳng hàng và $A'$ là trung điểm của $BC$ .

Tam giác $\Delta AA'B$ vuông tại $A'$ nên $AA{'^2} = A{B^2}-BA{'^2}$ $= 25{a^2}-9{a^2} = 16{a^2}$ $\Rightarrow AA' = 4a$

Gọi $p$ là nửa chu vi của tam giác $ABC$ , $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $r = HA'$ .

Khi đó ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}6a.4a = 12{a^2} = pr = 8ar$ $\Rightarrow r = \dfrac{3}{2}a$

$\Rightarrow SH = HA'.\tan {60^0} = \dfrac{{3a}}{2}\sqrt 3 = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a$

Thể tích khối chóp là $V = \dfrac{1}{3}.12{a^2}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a = 6\sqrt 3 {a^3}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.