Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác cân, \(AB = AC = 5a,BC = 6a\) và các mặt bên tạo với đáy

Câu hỏi số 383119:

Vận dụng

Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác cân, \(AB = AC = 5a,BC = 6a\) và các mặt bên tạo với đáy một góc \({60^0}\). Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

A. \(6\sqrt 2 {a^3}\)

B. \(3\sqrt 3 {a^3}\)

C. \(6\sqrt 3 {a^3}\)

D. \(3\sqrt 2 {a^3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383119

Phương pháp giải

- Dựng hình chiếu của \(S\) trên mặt đáy, từ đó xác định góc giữa các mặt bên và mặt đáy.

- Tính diện tích đáy, chiều cao dựa vào các kiến thức hình học đã biết.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Giải chi tiết

Kẻ \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(HA',HB',HC'\) lần lượt vuông góc với \(BC,CA,AB\). Theo định lí ba đường vuông góc ta có \(SA' \bot BC,SB' \bot CA,SC' \bot AB\)

Từ đó suy ra \(\widehat {SA'H} = \widehat {SB'H} = \widehat {SC'H} = {60^0}\).

\( \Rightarrow \Delta SHA' = \Delta SHB' = \Delta SHC'\)\( \Rightarrow HA' = HB' = HC'\)

Do đó \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Do tam giác cân ở \(A\) nên \(AH\) vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

\( \Rightarrow A,H,A'\) thẳng hàng và \(A'\) là trung điểm của \(BC\).

Tam giác \(\Delta AA'B\) vuông tại \(A'\) nên \(AA{'^2} = A{B^2}-BA{'^2}\) \( = 25{a^2}-9{a^2} = 16{a^2}\) \( \Rightarrow AA' = 4a\)

Gọi \(p\) là nửa chu vi của tam giác \(ABC\), \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(r = HA'\).

Khi đó \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}6a.4a = 12{a^2} = pr = 8ar\)\( \Rightarrow r = \dfrac{3}{2}a\)

\( \Rightarrow SH = HA'.\tan {60^0} = \dfrac{{3a}}{2}\sqrt 3 = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a\)

Thể tích khối chóp là \(V = \dfrac{1}{3}.12{a^2}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a = 6\sqrt 3 {a^3}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.