Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,\,\,B$ , biết $AB = BC = a$ , \(AD =

Câu hỏi số 383508:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,\,\,B$ , biết $AB = BC = a$ , $AD = 2a$ , $SA = a\sqrt 2$ và vuông góc với đáy. Khi đó giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ bằng:

\frac{\sqrt{14}}{7} .

$\dfrac{{\sqrt {14} }}{7}.$

\frac{\sqrt{14}}{21} .

$\dfrac{{\sqrt {14} }}{{21}}.$

\frac{\sqrt{21}}{7} .

$\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}.$

\frac{\sqrt{21}}{14} .

$\dfrac{{\sqrt {21} }}{{14}}.$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383508

Phương pháp giải

- Xác định $\alpha = \angle \left( {\left( {SBD} \right);\left( {SAD} \right)} \right)$ , $\beta = \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {SAD} \right)} \right)$ .

- Khi đó góc giữa $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ bằng $\beta - \alpha$ .

- Sử dụng công thức $\sin \left( {\beta - \alpha } \right) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$

Giải chi tiết

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ .

Trong $\left( {SAD} \right)$ kẻ $AH \bot SD$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot SD$

$\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SD\\AH \bot SD\end{array} \right. \Rightarrow SD \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow AD \bot BH$ .

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SD\\\left( {SAD} \right) \supset AH \bot SD\\\left( {SBD} \right) \supset BH \bot SD\end{array} \right.$

$\Rightarrow \angle \left( {\left( {SAD} \right);\left( {SBD} \right)} \right) = \angle \left( {AH;BH} \right)$

$\Rightarrow \alpha = \angle AHB$ .

Gọi $E$ là trung điểm của $AD$ .

Kẻ $EK \bot SD\,\,\left( {K \in SD} \right)$ , tương tự ta chứng minh được $\beta = \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {SAD} \right)} \right) = \angle EKC$ .

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là $\beta - \alpha$ .

Ta có $\sin \left( {\beta - \alpha } \right) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $AH = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }}$ $= \dfrac{{a\sqrt 2 .2a}}{{\sqrt {2{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}$ .

$\Rightarrow EK = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$ (tính chất đường trung bình).

Do $AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AH$ $\Rightarrow \Delta ABH$ vuông tại $A$ .

$\sin \beta = \dfrac{{CE}}{{CK}} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\Rightarrow \cos \beta = \dfrac{1}{2}$ .

Do $CE \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CE \bot EK$ $\Rightarrow \Delta CK$ vuông tại $E$ .

$\sin \alpha = \dfrac{{AD}}{{DH}} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{3}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$ $\Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}$ .

Vậy $\sin \left( {\beta - \alpha } \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{2\sqrt 7 }}{7} - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt {21} }}{7} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{{14}}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.