Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị hàm số \(y =

Câu hỏi số 383514:

Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như sau

Bất phương trình $f\left( {x + 1} \right) - \dfrac{1}{3}{x^3} + x - m > 0$ có nghiệm trên $\left[ {0;2} \right]$ khi và chỉ khi

$m < f\left( 2 \right) + \dfrac{2}{3}.$

$m < f\left( 4 \right) - 6.$

$m < f\left( 3 \right) - \dfrac{2}{3}.$

$m < f\left( 1 \right).$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383514

Phương pháp giải

Đạo hàm và đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết

Đặt $g\left( x \right) = f\left( {x + 1} \right) - \dfrac{1}{3}{x^3} + x \Rightarrow g\left( x \right) > m$

$\Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( {x + 1} \right) - {x^2} + 1$

Đặt $x + 1 = t$ $\Rightarrow t \in \left[ {1;3} \right]$

Khi đó ta có $g'\left( {t - 1} \right) = f'\left( t \right) - {t^2} + 2t$

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ và $y = {t^2} - 2t$ .

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số $g'\left( {t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.$ $\Rightarrow x = - 1;x = 1$

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) + \frac{2}{3}$ .

Vậy phương trình $g\left( x \right) > m$ có nghiệm $x \in \left[ {0;2} \right] \Leftrightarrow m < \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) \Leftrightarrow m < f\left( 2 \right) + \frac{2}{3}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.