Cho ba số thực \(a,b,c \in \left( {0;1} \right).\) Chứng minh rằng \(\sqrt {abc} + \sqrt {\left( {1 - a}

Câu hỏi số 384858:

Vận dụng

Cho ba số thực \(a,b,c \in \left( {0;1} \right).\) Chứng minh rằng \(\sqrt {abc} + \sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} < 1.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384858

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky.

Giải chi tiết

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky., ta có:

\({\left[ {\sqrt {abc} + \sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} } \right]^2}\)\( \le \left[ {bc + \left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \right].\left( {a + 1 - a} \right) = bc + \left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\)

Do đó:\(\sqrt {abc} + \sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} < \sqrt {bc + \left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} .\)

Ta có: \(bc + \left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\)\( < bc + \left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) + 2\sqrt {bc\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \)\( = {\left[ {\sqrt {bc} + \sqrt {\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} } \right]^2}\)

Suy ra: \(\sqrt {bc + \left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} < \sqrt {bc} + \sqrt {\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \)

Lại theo bất đẳng thức Bunyakovsky ta có: \(\sqrt {bc} + \sqrt {\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le \sqrt {\left( {b + 1 - c} \right)\left( {c + 1 - c} \right)} = 1\)

Vậy \(\sqrt {abc} + \sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} < \)\(1.\sqrt {abc} + \sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} < 1.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link