Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi

Câu hỏi số 386467:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) lần lượt là đồ thị của hàm số \(y = f''\left( x \right).f\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\) và \(y = {2020^x}\). Số giao điểm của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) là:

A. \(4\)

B. \(0\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:386467

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(f''\left( x \right).f\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = {2020^x}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Từ đồ thị \(f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên:

\(f(x) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right)\)

Lấy loganepe hai vế ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\ln \left| {f\left( x \right)} \right| = \ln \left| a \right| + \sum\limits_{k = 1}^4 {\ln \left| {x - {x_k}} \right|} \\ \Rightarrow \left( {\ln \left| {f\left( x \right)} \right|} \right)' = \left( {\ln \left| a \right|} \right)' + \left( {\sum\limits_{k = 1}^4 {\ln \left| {x - {x_k}} \right|} } \right)'\\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \sum\limits_{k = 1}^4 {\dfrac{1}{{x - {x_k}}}} \\ \Rightarrow \left[ {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]' = \left[ {\sum\limits_{k = 1}^4 {\dfrac{1}{{x - {x_k}}}} } \right]'\\ \Rightarrow \dfrac{{f''\left( x \right).f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = - \sum\limits_{k = 1}^4 {\dfrac{1}{{{{\left( {x - {x_k}} \right)}^2}}}} < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {{x_k}} \right\},\,\,k = 1;2;3;4\\ \Rightarrow f''\left( x \right).f\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} < 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {{x_k}} \right\},\,\,k = 1;2;3;4\\\left( {Do\,\,{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2} > 0} \right)\end{array}\)

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}f''\left( {{x_k}} \right).f\left( {{x_k}} \right) - {\left[ {f'\left( {{x_k}} \right)} \right]^2} = - {\left[ {f'\left( {{x_k}} \right)} \right]^2} < 0\,\,\forall {x_k},\,\,k = 1;2;3;4\\\left( {Do\,\,f\left( {{x_k}} \right) = 0} \right)\\ \Rightarrow f''\left( x \right).f\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow y = f''\left( x \right).f\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Mà: \({2020^x} > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

VT \( < 0\), VP\( > 0\), do đó phương trình (1) vô nghiệm.

Vậy hai đồ thị hàm số \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) không có giao điểm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.