Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Gọi $O,\,\,O'$ lần lượt là tâm của hai đáy

Câu hỏi số 386468:

Vận dụng cao

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Gọi $O,\,\,O'$ lần lượt là tâm của hai đáy $ABCD$ và $A'B'C'D'$ . Xét khối đa diện $\left( H \right)$ có các điểm bên trong là phần không gian chung của hai khối tứ diện $ACB'D'$ và $A'C'BD$ . Gọi ${V_1}$ là thể tích của phần không gian bên trong hình lập phương không bị $\left( H \right)$ chiếm chỗ, ${V_2}$ là thể tích khối nón $\left( N \right)$ đi qua tất cả các đỉnh của đa diện $\left( H \right)$ , đỉnh và tâm đáy của $\left( N \right)$ lần lượt là $O,\,\,O'$ . Tính $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ .

$\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{2}{{5\pi }}$

$\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{2\pi }}{5}$

$\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{5}{{2\pi }}$

$\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{5\pi }}{2}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386468

Giải chi tiết

Gọi $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q$ lần lượt là tâm các hình vuông $ABB'A'$ , $ADD'A'$ , $CDD'C'$ , $BCC'B'$ .

Khi đó $\left( H \right)$ là khối bát diện đều $OMNPQO'$ cạnh bằng $\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ $\Rightarrow {V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^3}\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{{{a^3}}}{6}$ .

Thể tích khối lập phương là ${a^3}$ .

$\Rightarrow {V_1} = {a^3} - \dfrac{{{a^3}}}{6} = \dfrac{{5{a^3}}}{6}$ .

Khối nón $\left( N \right)$ có đỉnh và tâm đáy lần lượt là $O,\,\,O'$ $\Rightarrow OO'$ là đường cao của khối nón.

$\Rightarrow$ Mặt đáy của khối nón vuông góc với $OO'$ .

Mà $OO' \bot \left( {MNPQ} \right)$ nên $\left( {MNPQ} \right)$ song song với mặt đáy của khối nón $\left( N \right)$ .

Qua $O$ dựng mặt phẳng song song với $\left( {MNPQ} \right)$ , gọi $M',\,\,N',\,\,P',\,\,Q'$ lần lượt là giao điểm của $OM,\,\,ON,\,\,OP,\,\,OQ$ với mặt đáy của khối nón $\left( N \right)$ .

Khi đó khối nón $\left( N \right)$ là khối nón ngoại tiếp chóp $O.M'N'P'Q'$ .

Ta có $MNPQ$ là hình vuông cạnh $\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ nên $MP = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 2 = a$ .

$MP$ là đường trung bình của tam giác $OM'P'$ nên $M'P' = 2MP = 2a$ .

$\Rightarrow$ Bán kính đáy khối nón $\left( N \right)$ là $r = \dfrac{1}{2}M'P' = a$ . Ta có $OO' = AA' = a$ .

$\Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}$ .

Vậy $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{5{a^3}}}{6}:\dfrac{{\pi {a^3}}}{3} = \dfrac{5}{{2\pi }}$

Chọn C.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.