Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là tâm của hai đáy

Câu hỏi số 386468:

Vận dụng cao

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là tâm của hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\). Xét khối đa diện \(\left( H \right)\) có các điểm bên trong là phần không gian chung của hai khối tứ diện \(ACB'D'\) và \(A'C'BD\). Gọi \({V_1}\) là thể tích của phần không gian bên trong hình lập phương không bị \(\left( H \right)\) chiếm chỗ, \({V_2}\) là thể tích khối nón \(\left( N \right)\) đi qua tất cả các đỉnh của đa diện \(\left( H \right)\), đỉnh và tâm đáy của \(\left( N \right)\) lần lượt là \(O,\,\,O'\). Tính \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

A. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{2}{{5\pi }}\)

B. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{2\pi }}{5}\)

C. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{5}{{2\pi }}\)

D. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{5\pi }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:386468

Giải chi tiết

Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là tâm các hình vuông \(ABB'A'\), \(ADD'A'\), \(CDD'C'\), \(BCC'B'\).

Khi đó \(\left( H \right)\) là khối bát diện đều \(OMNPQO'\) cạnh bằng \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow {V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^3}\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Thể tích khối lập phương là \({a^3}\).

\( \Rightarrow {V_1} = {a^3} - \dfrac{{{a^3}}}{6} = \dfrac{{5{a^3}}}{6}\).

Khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh và tâm đáy lần lượt là \(O,\,\,O'\) \( \Rightarrow OO'\) là đường cao của khối nón.

\( \Rightarrow \) Mặt đáy của khối nón vuông góc với \(OO'\).

Mà \(OO' \bot \left( {MNPQ} \right)\) nên \(\left( {MNPQ} \right)\) song song với mặt đáy của khối nón \(\left( N \right)\).

Qua \(O\) dựng mặt phẳng song song với \(\left( {MNPQ} \right)\), gọi \(M',\,\,N',\,\,P',\,\,Q'\) lần lượt là giao điểm của \(OM,\,\,ON,\,\,OP,\,\,OQ\) với mặt đáy của khối nón \(\left( N \right)\).

Khi đó khối nón \(\left( N \right)\) là khối nón ngoại tiếp chóp \(O.M'N'P'Q'\).

Ta có \(MNPQ\) là hình vuông cạnh \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) nên \(MP = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 2 = a\).

\(MP\) là đường trung bình của tam giác \(OM'P'\) nên \(M'P' = 2MP = 2a\).

\( \Rightarrow \) Bán kính đáy khối nón \(\left( N \right)\) là \(r = \dfrac{1}{2}M'P' = a\). Ta có \(OO' = AA' = a\).

\( \Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\).

Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{5{a^3}}}{6}:\dfrac{{\pi {a^3}}}{3} = \dfrac{5}{{2\pi }}\)

Chọn C.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.