Tìm họ nguyên hàm \(\int {\dfrac{{\left( {x + \ln x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}dx} \)

Câu hỏi số 386641:

Thông hiểu

A. \(\dfrac{1}{2}{\left( {x + \ln x} \right)^2} + C\)

B. \(x + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} + {\left( {\ln x} \right)^2} + C\)

C. \(x + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}{\left( {\ln x} \right)^2} + C\)

D. \({\left( {x + \ln x} \right)^2} + C\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:386641

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nguyên hàm các hàm số cơ bản.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\int {\dfrac{{\left( {x + \ln x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}dx} \) \( = \int {\dfrac{{{x^2} + x\ln x + x + \ln x}}{x}dx} \)

\( = \int {\left( {x + \ln x + 1 + \dfrac{{\ln x}}{x}} \right)dx} \) \( = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \int {\ln xdx} + x + \int {\dfrac{{\ln x}}{x}dx} \)

Xét \(I = \int {\ln xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = x\ln x - \int {dx} = x\ln x - x + {C_1}\)

Xét \(J = \int {\dfrac{{\ln x}}{x}dx} = \int {\ln xd\left( {\ln x} \right)} = \dfrac{{{{\ln }^2}x}}{2} + {C_2}\)

Vậy \(\int {\dfrac{{\left( {x + \ln x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}dx} \) \( = \dfrac{{{x^2}}}{2} + x\ln x - x + {C_1} + x + \dfrac{{{{\ln }^2}x}}{2} + {C_2}\) \( = \dfrac{{{x^2}}}{2} + x\ln x + \dfrac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + 2x\ln x + {{\ln }^2}x} \right) + C\) \( = \dfrac{1}{2}{\left( {x + \ln x} \right)^2} + C\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.