Tìm họ nguyên hàm $\int {\dfrac{{\left( {x + \ln x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}dx}$

Câu hỏi số 386641:

Thông hiểu

\frac{1}{2} {(x + ln x)}^{2} + C

$\dfrac{1}{2}{\left( {x + \ln x} \right)^2} + C$

x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + {(ln x)}^{2} + C

$x + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} + {\left( {\ln x} \right)^2} + C$

x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{2} {(ln x)}^{2} + C

$x + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}{\left( {\ln x} \right)^2} + C$

{(x + ln x)}^{2} + C

${\left( {x + \ln x} \right)^2} + C$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386641

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nguyên hàm các hàm số cơ bản.

Giải chi tiết

Ta có:

$\int {\dfrac{{\left( {x + \ln x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}dx}$ $= \int {\dfrac{{{x^2} + x\ln x + x + \ln x}}{x}dx}$

$= \int {\left( {x + \ln x + 1 + \dfrac{{\ln x}}{x}} \right)dx}$ $= \dfrac{{{x^2}}}{2} + \int {\ln xdx} + x + \int {\dfrac{{\ln x}}{x}dx}$

Xét $I = \int {\ln xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.$

$\Rightarrow I = x\ln x - \int {dx} = x\ln x - x + {C_1}$

Xét $J = \int {\dfrac{{\ln x}}{x}dx} = \int {\ln xd\left( {\ln x} \right)} = \dfrac{{{{\ln }^2}x}}{2} + {C_2}$

Vậy $\int {\dfrac{{\left( {x + \ln x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}dx}$ $= \dfrac{{{x^2}}}{2} + x\ln x - x + {C_1} + x + \dfrac{{{{\ln }^2}x}}{2} + {C_2}$ $= \dfrac{{{x^2}}}{2} + x\ln x + \dfrac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C$

$= \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + 2x\ln x + {{\ln }^2}x} \right) + C$ $= \dfrac{1}{2}{\left( {x + \ln x} \right)^2} + C$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.