Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \bot BC\), \(BC \bot CD\), \(CD \bot DA\), \(BC = a\), \(CD = a\sqrt {15} \), góc

Câu hỏi số 386474:

Vận dụng cao

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \bot BC\), \(BC \bot CD\), \(CD \bot DA\), \(BC = a\), \(CD = a\sqrt {15} \), góc giữa \(AB\) và \(CD\) bằng \({30^0}\). Thể tích khối tứ diện đó bằng.

\(\dfrac{{5{a^3}}}{2}\)

B. \(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{5{a^3}}}{6}\)

D. \(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:386474

Giải chi tiết

Dựng hình chữ nhật \(ABCE\).

Ta có \(AB\parallel CE\) \( \Rightarrow \angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {CE;CD} \right) = \angle ECD = {30^0}\).

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BE\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D \Rightarrow DO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BE\).

\( \Rightarrow \Delta BDE\) vuông tại \(D\) (Định lí đường trung tuyến).

Đặt \(AB = CE = x\).

Áp dụng định lí Pytato trong các tam giác vuông ta có:

\(B{E^2} = {a^2} + {x^2}\).

\(B{D^2} = {a^2} + 15{a^2} = 16{a^2}\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(CDE\) ta có:

\(\begin{array}{l}D{E^2} = C{D^2} + C{E^2} - 2CD.CE.cos{30^0}\\D{E^2} = 15{a^2} + {x^2} - 2.a\sqrt {15} .x.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\D{E^2} = 15{a^2} + {x^2} - 3\sqrt 5 ax\end{array}\)

Tam giác \(BDE\) vuông tại \(D\,\,\left( {cmt} \right)\) nên ta có: \(B{D^2} + D{E^2} = B{E^2}\) (Định lí Pytago)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 16{a^2} + 15{a^2} + {x^2} - 3\sqrt 5 ax = {a^2} + {x^2}\\ \Leftrightarrow 30{a^2} - 3\sqrt 5 ax = 0\\ \Leftrightarrow 3a\left( {10a - \sqrt 5 x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 5 x = 10a \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 a\end{array}\)

\( \Rightarrow AB = CE = 2\sqrt 5 a\)

\( \Rightarrow {S_{ABCE}} = AB.BC = 2\sqrt 5 a.a = 2\sqrt 5 {a^2}\) \( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCE}} = {a^2}\sqrt 5 \).

Trong \(\left( {CDE} \right)\) kẻ \(DH \bot CE\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot CD\\BC \bot CE\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {CDE} \right) \Rightarrow BC \bot DH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}DH \bot CE\\DH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong tam giác vuông \(CDH\) có: \(CH = CD.sin{30^0} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}\) .

Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}DH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}.{a^2}\sqrt 5 = \dfrac{{5\sqrt 3 {a^3}}}{6}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.