Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) không vượt quá \(2020\) để phương trình sau có nghiệm

Câu hỏi số 386644:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) không vượt quá \(2020\) để phương trình sau có nghiệm thực: \({3.4^x} + \left( {4 - m} \right){2^{x + 1}} + 3 = 0\)

A. \(2013\)

B. \(2016\)

C. \(2014\)

D. \(2015\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386644

Phương pháp giải

Đặt \(t = {2^x}\), đặt điều kiện cho \(t\) và đưa phương trình về bậc hai ẩn \(t\).

Tìm điều kiện để phương trình ẩn \(t\) có nghiệm thỏa mãn điều kiện trên.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {2^x} > 0\), phương trình trở thành \(3{t^2} + 2\left( {4 - m} \right)t + 3 = 0\) (*)

Phương trình đã cho có nghiệm thực \( \Leftrightarrow \) (*) có ít nhất một nghiệm dương.

TH1: \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {\left( {4 - m} \right)^2} - 9 = 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 7\end{array} \right.\)

Với \(m = 1\) thì \(3{t^2} + 6t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\left( {loai} \right)\)

Với \(m = 7\) thì \(3{t^2} - 6t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) (TM )

TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 7\\m < 1\end{array} \right.\), khi đó phương trình có nghiệm \({t_{1,2}} = \dfrac{{m - 4 \pm \sqrt {{m^2} - 8m + 7} }}{3}\)

Phương trình (*) có nghiệm dương \( \Leftrightarrow \dfrac{{m - 4 + \sqrt {{m^2} - 8m + 7} }}{3} > 0\) \( \Leftrightarrow m - 4 + \sqrt {{m^2} - 8m + 7} > 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 8m + 7} > 4 - m\) (**)

Nếu \(m > 7\) thì \(4 - m < 0\) nên (**) luôn đúng.

Nếu \(m < 1\) thì \(4 - m > 0\) \( \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 7 > {m^2} - 8m + 16\) \( \Leftrightarrow 7 > 16\) (vô lí)

Do đó với \(m \ge 7\) thì pt có nghiệm thực.

Mà \(m \in \mathbb{Z},m \le 2020\) nên \(m \in \left\{ {7;8;...;2020} \right\}\)\( \Rightarrow \) có \(2014\) giá trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.