Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) không vượt quá \(2020\) để phương trình sau có nghiệm

Câu hỏi số 386644:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) không vượt quá \(2020\) để phương trình sau có nghiệm thực: \({3.4^x} + \left( {4 - m} \right){2^{x + 1}} + 3 = 0\)

A. \(2013\)

B. \(2016\)

C. \(2014\)

D. \(2015\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:386644

Phương pháp giải

Đặt \(t = {2^x}\), đặt điều kiện cho \(t\) và đưa phương trình về bậc hai ẩn \(t\).

Tìm điều kiện để phương trình ẩn \(t\) có nghiệm thỏa mãn điều kiện trên.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {2^x} > 0\), phương trình trở thành \(3{t^2} + 2\left( {4 - m} \right)t + 3 = 0\) (*)

Phương trình đã cho có nghiệm thực \( \Leftrightarrow \) (*) có ít nhất một nghiệm dương.

TH1: \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {\left( {4 - m} \right)^2} - 9 = 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 7\end{array} \right.\)

Với \(m = 1\) thì \(3{t^2} + 6t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\left( {loai} \right)\)

Với \(m = 7\) thì \(3{t^2} - 6t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) (TM )

TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 7\\m < 1\end{array} \right.\), khi đó phương trình có nghiệm \({t_{1,2}} = \dfrac{{m - 4 \pm \sqrt {{m^2} - 8m + 7} }}{3}\)

Phương trình (*) có nghiệm dương \( \Leftrightarrow \dfrac{{m - 4 + \sqrt {{m^2} - 8m + 7} }}{3} > 0\) \( \Leftrightarrow m - 4 + \sqrt {{m^2} - 8m + 7} > 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 8m + 7} > 4 - m\) (**)

Nếu \(m > 7\) thì \(4 - m < 0\) nên (**) luôn đúng.

Nếu \(m < 1\) thì \(4 - m > 0\) \( \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 7 > {m^2} - 8m + 16\) \( \Leftrightarrow 7 > 16\) (vô lí)

Do đó với \(m \ge 7\) thì pt có nghiệm thực.

Mà \(m \in \mathbb{Z},m \le 2020\) nên \(m \in \left\{ {7;8;...;2020} \right\}\)\( \Rightarrow \) có \(2014\) giá trị.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.