Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ không vượt quá $2020$ để phương trình sau có nghiệm

Câu hỏi số 386644:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ không vượt quá $2020$ để phương trình sau có nghiệm thực: ${3.4^x} + \left( {4 - m} \right){2^{x + 1}} + 3 = 0$

$2013$

$2016$

$2014$

$2015$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386644

Phương pháp giải

Đặt $t = {2^x}$ , đặt điều kiện cho $t$ và đưa phương trình về bậc hai ẩn $t$ .

Tìm điều kiện để phương trình ẩn $t$ có nghiệm thỏa mãn điều kiện trên.

Giải chi tiết

Đặt $t = {2^x} > 0$ , phương trình trở thành $3{t^2} + 2\left( {4 - m} \right)t + 3 = 0$ (*)

Phương trình đã cho có nghiệm thực $\Leftrightarrow$ (*) có ít nhất một nghiệm dương.

TH1: $\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {\left( {4 - m} \right)^2} - 9 = 0$ $\Leftrightarrow {m^2} - 8m + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 7\end{array} \right.$

Với $m = 1$ thì $3{t^2} + 6t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\left( {loai} \right)$

Với $m = 7$ thì $3{t^2} - 6t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ (TM )

TH2: $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 7\\m < 1\end{array} \right.$ , khi đó phương trình có nghiệm ${t_{1,2}} = \dfrac{{m - 4 \pm \sqrt {{m^2} - 8m + 7} }}{3}$

Phương trình (*) có nghiệm dương $\Leftrightarrow \dfrac{{m - 4 + \sqrt {{m^2} - 8m + 7} }}{3} > 0$ $\Leftrightarrow m - 4 + \sqrt {{m^2} - 8m + 7} > 0$

$\Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 8m + 7} > 4 - m$ (**)

Nếu $m > 7$ thì $4 - m < 0$ nên (**) luôn đúng.

Nếu $m < 1$ thì $4 - m > 0$ $\Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 7 > {m^2} - 8m + 16$ $\Leftrightarrow 7 > 16$ (vô lí)

Do đó với $m \ge 7$ thì pt có nghiệm thực.

Mà $m \in \mathbb{Z},m \le 2020$ nên $m \in \left\{ {7;8;...;2020} \right\}$ $\Rightarrow$ có $2014$ giá trị.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.