Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\), mặt phẳng \(\left( {AB'C'}

Câu hỏi số 386654:

Thông hiểu

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\), mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) một góc \({60^0}\). Thể tích lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng:

A. \(\sqrt 3 {a^3}\)

B. \(3\sqrt 3 {a^3}\)

C. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:386654

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm \(B'C'\) ta có \(A'M \bot B'C'\).

Mà \(AB' = AC' \Rightarrow A'M \bot B'C'\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\AM \bot B'C'\\A'M \bot B'C'\end{array} \right.\)

Nên góc giữa \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng góc giữa \(AM\) và \(A'M\) hay là góc \(\widehat {AMA'}\) vì \(\widehat {AMA'} < {90^0}\)\( \Rightarrow \widehat {AMA'} = {60^0}\)

Tam giác \(A'B'C'\) đều cạnh \(2a\) nên \(A'M = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Tam giác \(AA'M\) vuông tại \(A'\) có \(A'M = a\sqrt 3 ,\widehat {AMA'} = {60^0}\) \( \Rightarrow AA' = A'M\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\)

Thể tích \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{A'B'C'}}.AA' = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4}.3a = 3\sqrt 3 {a^3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.