Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,$ hình chiếu của $A'$ lên mặt

Câu hỏi số 386671:

Vận dụng

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,$ hình chiếu của $A'$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm của $BC,$ mặt phẳng $\left( {BCC'} \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ một góc ${60^0}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng:

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$

$a$

$\dfrac{{3a}}{4}$

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386671

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung.

Giải chi tiết

Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B'C'.$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot A'H\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AHKA'} \right)$

$\Rightarrow BC \bot HK$ .

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCC'B'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {BCC'B'} \right) \supset HK \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AH \bot BC\end{array} \right.$

$\Rightarrow \angle \left( {BCC'B';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {AH;HK} \right)$ .

Mà $\angle AHK > \angle AHA' = {90^0}$ nên $\angle AHK = {120^0}$ .

$\Rightarrow \angle A'AH = {60^0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau).

Trong $\left( {AHKA'} \right)$ kẻ $HI \bot AA'\,\,\left( {I \in AA'} \right)$ ta có: $BC \bot \left( {AHKA'} \right) \Rightarrow BC \bot HI$ .

$\Rightarrow HI$ là đoạn vuông góc chung của $AA'$ và $BC$ .

Suy ra $\left( {AA';BC} \right) = HI$ .

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ .

Xét tam giác vuông $AHI$ có: $HI = AH.sin{60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{4}$ .

Vậy $d\left( {AA';BC} \right) = \dfrac{{3a}}{4}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.