Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a,\) hình chiếu của \(A'\) lên mặt

Câu hỏi số 386671:

Vận dụng

Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a,\) hình chiếu của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm của \(BC,\) mặt phẳng \(\left( {BCC'} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng:

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

B. \(a\)

C. \(\dfrac{{3a}}{4}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:386671

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung.

Giải chi tiết

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(B'C'.\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot A'H\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AHKA'} \right)\)

\( \Rightarrow BC \bot HK\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCC'B'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {BCC'B'} \right) \supset HK \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AH \bot BC\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {BCC'B';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {AH;HK} \right)\).

Mà \(\angle AHK > \angle AHA' = {90^0}\) nên \(\angle AHK = {120^0}\).

\( \Rightarrow \angle A'AH = {60^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau).

Trong \(\left( {AHKA'} \right)\) kẻ \(HI \bot AA'\,\,\left( {I \in AA'} \right)\) ta có: \(BC \bot \left( {AHKA'} \right) \Rightarrow BC \bot HI\).

\( \Rightarrow HI\) là đoạn vuông góc chung của \(AA'\) và \(BC\).

Suy ra \(\left( {AA';BC} \right) = HI\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(AHI\) có: \(HI = AH.sin{60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{4}\).

Vậy \(d\left( {AA';BC} \right) = \dfrac{{3a}}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.