Cho hình chóp \(S.ABC\) có độ dài các cạnh \(SA = BC = x\), \(SB = AC = y\), \(SC = AB = z\) thỏa mãn

Câu hỏi số 386698:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có độ dài các cạnh \(SA = BC = x\), \(SB = AC = y\), \(SC = AB = z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 36\). Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:

A. \(6\)

B. \(2\sqrt 6 \)

C. \(3\)

D. \(\sqrt 6 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386698

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đều: \(V = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \)

Giải chi tiết

Ta có: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( { - {x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - {z^2}} \right)} \)

\( = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {36 - 2{x^2}} \right)\left( {36 - 2{y^2}} \right)\left( {36 - 2{z^2}} \right)} \)

Áp dụng BĐT Cô si ta có \(\left( {36 - 2{x^2}} \right)\left( {36 - 2{y^2}} \right)\left( {36 - 2{z^2}} \right)\)\( \le {\left( {\dfrac{{36 - 2{x^2} + 36 - 2{y^2} + 36 - 2{z^2}}}{3}} \right)^3}\)

\( = {\left( {\dfrac{{36.3 - 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{36.3 - 2.36}}{3}} \right)^3} = 1728\)

\( \Rightarrow V \le \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}.\sqrt {1728} = 2\sqrt 6 \)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = 2\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{\max }} = 2\sqrt 6 \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.