Cho hình chóp $S.ABC$ có độ dài các cạnh $SA = BC = x$ , $SB = AC = y$ , $SC = AB = z$ thỏa mãn

Câu hỏi số 386698:

Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABC$ có độ dài các cạnh $SA = BC = x$ , $SB = AC = y$ , $SC = AB = z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 36$ . Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$6$

$2\sqrt 6$

$3$

$\sqrt 6$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386698

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đều: $V = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}$

Giải chi tiết

Ta có: ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( { - {x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - {z^2}} \right)}$

$= \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {36 - 2{x^2}} \right)\left( {36 - 2{y^2}} \right)\left( {36 - 2{z^2}} \right)}$

Áp dụng BĐT Cô si ta có $\left( {36 - 2{x^2}} \right)\left( {36 - 2{y^2}} \right)\left( {36 - 2{z^2}} \right)$ $\le {\left( {\dfrac{{36 - 2{x^2} + 36 - 2{y^2} + 36 - 2{z^2}}}{3}} \right)^3}$

$= {\left( {\dfrac{{36.3 - 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{36.3 - 2.36}}{3}} \right)^3} = 1728$

$\Rightarrow V \le \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}.\sqrt {1728} = 2\sqrt 6$

Dấu “=” xảy ra khi $x = y = z = 2\sqrt 3$ .

Vậy ${V_{\max }} = 2\sqrt 6$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.