Với số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = \left| {{z_1} + 3 - i} \right|\)

Câu hỏi số 386695:

Vận dụng

Với số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = \left| {{z_1} + 3 - i} \right|\) và \(\left| {{z_2} - 1 + 2i} \right| = 1\) thì giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là:

A. \(\dfrac{6}{{\sqrt 5 }} - 1\)

B. \(\dfrac{2}{{\sqrt 5 }} + 1\)

C. \(1 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)

D. \(\dfrac{6}{{\sqrt 5 }} + 1\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:386695

Phương pháp giải

Xác định quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) sau đó tìm GTNN của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\).

Giải chi tiết

Gọi \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {{a_1} + {b_1}i - 1 + i} \right| = \left| {{a_1} + {b_1}i + 3 - i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {{a_1} - 1} \right)^2} + {\left( {{b_1} + 1} \right)^2} = {\left( {{a_1} + 3} \right)^2} + {\left( {{b_1} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a_1^2 - 2{a_1} + 1 + b_1^2 + 2{b_1} + 1 = a_1^2 + 6{a_1} + 9 + b_1^2 - 2{b_1} + 1\\ \Leftrightarrow 8{a_1} - 4{b_1} + 8 = 0\\ \Leftrightarrow 2{a_1} - {b_1} + 2 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \({z_1}\) là đường thẳng \(2x - y + 2 = 0\) \(\left( d \right)\).

\({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_2} - 1 + 2i} \right| = 1\) nên tập hợp các điểm \({z_2}\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Gọi \(A,\,\,B\) lần lượt các các điểm biểu diễn \({z_1},\,\,{z_2}\), khi đó \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = AB\) với \(A \in \left( d \right)\), \(B \in \left( C \right)\).

Ta có \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 - \left( { - 2} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }} > R\), do đó đường thẳng \(d\) không cắt \(\left( C \right)\).

Ta có: \(A{B_{\min }} = d\left( {I;d} \right) - R = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }} - 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.