Cho \(f\left( x \right)\) là một hàm số liên tục trên \(\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\) và thỏa mãn

Câu hỏi số 386703:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right)\) là một hàm số liên tục trên \(\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)

A. \(\ln 2 - \dfrac{1}{2}\)

B. \(\ln 2 + \dfrac{1}{2}\)

C. \( - \ln 2 - \dfrac{1}{2}\)

D. \( - \ln 2 + \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386703

Phương pháp giải

Lấy tích phân từ \(0\) đến \(1\) hai vế, sử dụng phương pháp đổi biến.

Giải chi tiết

Lấy tích phân từ \(0\) đến \(1\) hai vế ta được:

\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}} \right)dx} \) .

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\int\limits_0^1 {\left( { - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}} \right)dx} \\ = \left. { - x} \right|_0^1 - 3\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \\ = - 1 - \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{x + 1 - \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right)dx} \\ = - 1 - \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = - 1 - \left. {\left( {\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = - 1 - \left( { - \ln 2 - \ln 2} \right)\\ = - 1 + 2\ln 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = - 1 + 2\ln 2\)

Đặt \({I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} ,\,\,{I_2} = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} \).

Đặt \(t = 1 - x\) ta có \(dt = - dx \Leftrightarrow dx = - dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_2} = - \int\limits_1^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = {I_1}\).

\( \Rightarrow {I_1} + {I_1} = - 1 + 2\ln 2 \Rightarrow {I_1} = - \dfrac{1}{2} + \ln 2\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{2} + \ln 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.