Cho $f\left( x \right)$ là một hàm số liên tục trên $\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)$ và thỏa mãn

Câu hỏi số 386703:

Vận dụng

Cho $f\left( x \right)$ là một hàm số liên tục trên $\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)$ và thỏa mãn $f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}$ . Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$

$\ln 2 - \dfrac{1}{2}$

$\ln 2 + \dfrac{1}{2}$

$- \ln 2 - \dfrac{1}{2}$

$- \ln 2 + \dfrac{1}{2}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386703

Phương pháp giải

Lấy tích phân từ $0$ đến $1$ hai vế, sử dụng phương pháp đổi biến.

Giải chi tiết

Lấy tích phân từ $0$ đến $1$ hai vế ta được:

$\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}} \right)dx}$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\int\limits_0^1 {\left( { - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}} \right)dx} \\ = \left. { - x} \right|_0^1 - 3\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \\ = - 1 - \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{x + 1 - \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right)dx} \\ = - 1 - \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = - 1 - \left. {\left( {\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = - 1 - \left( { - \ln 2 - \ln 2} \right)\\ = - 1 + 2\ln 2\end{array}$

$\Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = - 1 + 2\ln 2$

Đặt ${I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} ,\,\,{I_2} = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx}$ .

Đặt $t = 1 - x$ ta có $dt = - dx \Leftrightarrow dx = - dt$ .

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.$ .

$\Rightarrow {I_2} = - \int\limits_1^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = {I_1}$ .

$\Rightarrow {I_1} + {I_1} = - 1 + 2\ln 2 \Rightarrow {I_1} = - \dfrac{1}{2} + \ln 2$ .

Vậy $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{2} + \ln 2$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.