Cho \(f\left( x \right)\) là một hàm số liên tục trên \(\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\) và thỏa mãn

Câu hỏi số 386703:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right)\) là một hàm số liên tục trên \(\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)

A. \(\ln 2 - \dfrac{1}{2}\)

B. \(\ln 2 + \dfrac{1}{2}\)

C. \( - \ln 2 - \dfrac{1}{2}\)

D. \( - \ln 2 + \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:386703

Phương pháp giải

Lấy tích phân từ \(0\) đến \(1\) hai vế, sử dụng phương pháp đổi biến.

Giải chi tiết

Lấy tích phân từ \(0\) đến \(1\) hai vế ta được:

\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}} \right)dx} \) .

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\int\limits_0^1 {\left( { - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}} \right)dx} \\ = \left. { - x} \right|_0^1 - 3\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \\ = - 1 - \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{x + 1 - \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right)dx} \\ = - 1 - \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = - 1 - \left. {\left( {\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = - 1 - \left( { - \ln 2 - \ln 2} \right)\\ = - 1 + 2\ln 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = - 1 + 2\ln 2\)

Đặt \({I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} ,\,\,{I_2} = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} \).

Đặt \(t = 1 - x\) ta có \(dt = - dx \Leftrightarrow dx = - dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_2} = - \int\limits_1^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = {I_1}\).

\( \Rightarrow {I_1} + {I_1} = - 1 + 2\ln 2 \Rightarrow {I_1} = - \dfrac{1}{2} + \ln 2\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{2} + \ln 2\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.