Cho \(f\left( x \right)\) là một hàm số liên tục trên \(\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\) và thỏa mãn

Câu hỏi số 386703:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right)\) là một hàm số liên tục trên \(\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)

A. \(\ln 2 - \dfrac{1}{2}\)

B. \(\ln 2 + \dfrac{1}{2}\)

C. \( - \ln 2 - \dfrac{1}{2}\)

D. \( - \ln 2 + \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386703

Phương pháp giải

Lấy tích phân từ \(0\) đến \(1\) hai vế, sử dụng phương pháp đổi biến.

Giải chi tiết

Lấy tích phân từ \(0\) đến \(1\) hai vế ta được:

\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}} \right)dx} \) .

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\int\limits_0^1 {\left( { - 1 + \dfrac{3}{{2 + x - {x^2}}}} \right)dx} \\ = \left. { - x} \right|_0^1 - 3\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \\ = - 1 - \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{x + 1 - \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right)dx} \\ = - 1 - \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = - 1 - \left. {\left( {\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = - 1 - \left( { - \ln 2 - \ln 2} \right)\\ = - 1 + 2\ln 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = - 1 + 2\ln 2\)

Đặt \({I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} ,\,\,{I_2} = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} \).

Đặt \(t = 1 - x\) ta có \(dt = - dx \Leftrightarrow dx = - dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_2} = - \int\limits_1^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = {I_1}\).

\( \Rightarrow {I_1} + {I_1} = - 1 + 2\ln 2 \Rightarrow {I_1} = - \dfrac{1}{2} + \ln 2\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{2} + \ln 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.