Trong mặt phẳng với hệ trục \(Oxy\), cho bốn điểm \(A\left( {1;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1}

Câu hỏi số 386707:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ trục \(Oxy\), cho bốn điểm \(A\left( {1;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1} \right)\), \(C\left( { - 3; - 2} \right)\), \(M\left( {3;4} \right)\) và điểm \(P\) thay đổi thỏa mãn \(\overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PB} .\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PA} + 2 = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(MP\).

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(5\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:386707

Phương pháp giải

- Gọi \(P\left( {x;y} \right)\). Tính \(\overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PB} .\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PA} \).

- Tìm tập hợp các điểm \(P\), từ đó tìm GTNN của \(MP\).

Giải chi tiết

Gọi \(P\left( {x;y} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {PA} = \left( {1 - x;3 - y} \right)\); \(\overrightarrow {PB} = \left( {2 - x; - 1 - y} \right)\); \(\overrightarrow {PC} = \left( { - 3 - x; - 2 - y} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} = \left( {1 - x} \right)\left( {2 - x} \right) + \left( {3 - y} \right)\left( { - 1 - y} \right) = {x^2} + {y^2} - 3x - 2y - 1\\\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {PB} .\overrightarrow {PC} = \left( {2 - x} \right)\left( { - 3 - x} \right) + \left( { - 1 - y} \right)\left( { - 2 - y} \right) = {x^2} + {y^2} + x + 3y - 4\\\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PA} = \left( { - 3 - x} \right)\left( {1 - x} \right) + \left( { - 2 - y} \right)\left( {3 - y} \right) = {x^2} + {y^2} + 2x - y - 9\\ \Rightarrow \overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PB} .\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PA} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} - 12 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(P\) là đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) bán kính \(R = 2\).

Vậy \(M{P_{\min }} = OM - R = \sqrt {{3^2} + {4^2}} - 2 = 3\).

Chọn B.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.