Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1

Câu hỏi số 386709:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2}\), \(f\left( x \right) = 1 - \sqrt {\dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{2x + 1}}} \) với mọi giá trị nguyên của \(x\). Tính tổng \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2020} \right)\).

A. \(\dfrac{{2020}}{{2021}}\)

B. \(2020\)

C. \(\dfrac{{{{2020}^2}}}{{2021}}\)

D. \(\dfrac{{{{2019}^2}}}{{2020}}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:386709

Phương pháp giải

- Biến đổi điều kiện bài cho tìm \(f\left( x \right)\).

- Tính các giá trị \(f\left( 1 \right),f\left( 2 \right),...,f\left( {2020} \right)\) và tính tổng.

Giải chi tiết

\(f\left( x \right) = 1 - \sqrt {\dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{2x + 1}}} \)\( \Leftrightarrow 1 - f\left( x \right) = \sqrt {\dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{2x + 1}}} \)\( \Rightarrow {\left[ {1 - f\left( x \right)} \right]^2} = \dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{2x + 1}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{{{\left( {1 - f\left( x \right)} \right)}^2}}} = 2x + 1\)\( \Rightarrow \int {\dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {1 - f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{1 - f\left( x \right)}} = {x^2} + x + C\)

\(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 - f\left( 1 \right)}} = {1^2} + 1 + C\)\( \Leftrightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{1 - f\left( x \right)}} = {x^2} + x\)\( \Rightarrow 1 - f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} + x}} = \dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 - f\left( 1 \right) = 1 - \dfrac{1}{2}\\1 - f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\\...\\1 - f\left( {2020} \right) = \dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{2021}}\end{array}\)

\( \Rightarrow 1 - f\left( 1 \right) + 1 - f\left( 2 \right) + ... + 1 - f\left( {2020} \right)\)\( = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{2021}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2020 - \left[ {f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2020} \right)} \right] = 1 - \dfrac{1}{{2021}}\\ \Leftrightarrow 2020 - \left[ {f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2020} \right)} \right] = \dfrac{{2020}}{{2021}}\\ \Leftrightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2020} \right) = 2020 - \dfrac{{2020}}{{2021}}\\ \Leftrightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2020} \right) = \dfrac{{{{2020}^2}}}{{2021}}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.