Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và thỏa mãn \(f\left( 1

Câu hỏi số 386709:

Vận dụng cao

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và thỏa mãn $f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2}$ , $f\left( x \right) = 1 - \sqrt {\dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{2x + 1}}}$ với mọi giá trị nguyên của $x$ . Tính tổng $f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2020} \right)$ .

$\dfrac{{2020}}{{2021}}$

$2020$

$\dfrac{{{{2020}^2}}}{{2021}}$

$\dfrac{{{{2019}^2}}}{{2020}}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386709

Phương pháp giải

- Biến đổi điều kiện bài cho tìm $f\left( x \right)$ .

- Tính các giá trị $f\left( 1 \right),f\left( 2 \right),...,f\left( {2020} \right)$ và tính tổng.

Giải chi tiết

$f\left( x \right) = 1 - \sqrt {\dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{2x + 1}}}$ $\Leftrightarrow 1 - f\left( x \right) = \sqrt {\dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{2x + 1}}}$ $\Rightarrow {\left[ {1 - f\left( x \right)} \right]^2} = \dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{2x + 1}}$

$\Rightarrow \dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{{{\left( {1 - f\left( x \right)} \right)}^2}}} = 2x + 1$ $\Rightarrow \int {\dfrac{{ f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {1 - f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{{1 - f\left( x \right)}} = {x^2} + x + C$

$f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 - f\left( 1 \right)}} = {1^2} + 1 + C$ $\Leftrightarrow C = 0$

$\Rightarrow \dfrac{1}{{1 - f\left( x \right)}} = {x^2} + x$ $\Rightarrow 1 - f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} + x}} = \dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 - f\left( 1 \right) = 1 - \dfrac{1}{2}\\1 - f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\\...\\1 - f\left( {2020} \right) = \dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{2021}}\end{array}$

$\Rightarrow 1 - f\left( 1 \right) + 1 - f\left( 2 \right) + ... + 1 - f\left( {2020} \right)$ $= 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{2021}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2020 - \left[ {f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2020} \right)} \right] = 1 - \dfrac{1}{{2021}}\\ \Leftrightarrow 2020 - \left[ {f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2020} \right)} \right] = \dfrac{{2020}}{{2021}}\\ \Leftrightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2020} \right) = 2020 - \dfrac{{2020}}{{2021}}\\ \Leftrightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2020} \right) = \dfrac{{{{2020}^2}}}{{2021}}\end{array}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.