Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right).\) Biết hàm số có điểm cực đại là \(x = 3\) và điểm

Câu hỏi số 387051:

Vận dụng

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right).\) Biết hàm số có điểm cực đại là \(x = 3\) và điểm cực tiểu là \(x = 6.\) Hỏi hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

\(\left( {1;\,\,2} \right)\)

B. \(\left( {2;\,3} \right)\)

C. \(\left( {0;\,\,1} \right)\)

D. \(\left( {3;\,\,4} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:387051

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Vẽ BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) sau đó dựa vào BBT để nhận xét khoảng nghịch biến của hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + 4} \right).\)

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có điểm cực đại là \(x = 3\) và điểm cực tiểu là \(x = 6\) nên ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {3;\,\,6} \right).\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left[ {f\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \right]' = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\) nghịch biến \( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 \le 0\\f'\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 \ge 0\\f'\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 4 \le 3\\{x^2} - 2x + 4 \ge 6\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2x + 4 \ge 3\\{x^2} - 2x + 4 \le 6\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 \le 0\\{x^2} - 2x - 2 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2x + 1 \ge 0\\{x^2} - 2x - 2 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 1 + \sqrt 3 \\x \le 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\forall x \in \mathbb{R}\\1 - \sqrt 3 \le x \le 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1 - \sqrt 3 \\1 \le x \le 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,1 - \sqrt 3 } \right)\) và \(\left[ {1;\,\,1 + \sqrt 3 } \right].\)

Chọn A.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.