Tìm hệ số của ${x^4}$ trong khai triển $P\left( x \right) = {\left( {1 - x - 3{x^3}} \right)^n}$ với n

Câu hỏi số 388178:

Vận dụng

Tìm hệ số của ${x^4}$ trong khai triển $P\left( x \right) = {\left( {1 - x - 3{x^3}} \right)^n}$ với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $C_n^{n - 2} + 6n + 5 = A_{n + 1}^2$

210

$210$

840

$840$

480

$480$

270

$270$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:388178

Giải chi tiết

$\begin{array}{l}C_n^{n - 2} + 6n + 5 = A_{n + 1}^2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + 6n + 5 = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 6n + 5 = n\left( {n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow - {n^2} + 9n + 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\n = 10\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

+ Tìm hệ số ${x^4}$ trong khai triển $P\left( x \right) = {\left( {1 - x - 3{x^3}} \right)^{10}}$

+ Số hạng tổng quát $T_{k + 1}^{} = C_{10}^k{.1^{10 - k}}.{\left( { - x - 3{x^3}} \right)^k}$

$= C_{10}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {x + 3{x^3}} \right)^k}$

$= C_{10}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.C_k^p.{x^{k - p}}.{\left( {3{{\rm{x}}^3}} \right)^p}$

$= C_{10}^k.C_k^p.{\left( { - 1} \right)^k}{.3^p}.{x^{k + 2p}}$

+ Số hạng chứa ${x^4}$ ứng với: $k + 2p = 4$ ( $0 \le p \le k \le 10$ )

k =4 => p=0;

k =2 => p=1;

k =0=> p=2 (loại);

+ Hệ số cần tìm là $C_{10}^4.C_4^0{\left( { - 1} \right)^4}{3^0} + C_{10}^2C_2^1{\left( { - 1} \right)^2}{3^1} = 480$ .

Chọn C.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.