Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {2 - 3x} \right)^{2n}},\) biết

Câu hỏi số 388659:

Vận dụng

Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {2 - 3x} \right)^{2n}},\) biết \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn: \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = 1024.\)

A. \(2099529\).

B. \( - 2099520.\)

C. \( - 1959552.\)

D. \(1959552\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:388659

Giải chi tiết

\( + )\)\(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = 1024\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right] = 2.1024\)

\( \Leftrightarrow \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) + \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) = 2.1024\)(*)

Vì \(C_n^k = C_n^{n - k}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{2n + 1}^0 = C_{2n + 1}^{2n + 1}\\C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\....\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \)\(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = C_{2n + 1}^{2n + 1} + ... + C_{2n + 1}^1\)

(Nói cách khác: Tổng các C có chỉ số chẵn = Tổng các C có chỉ số lẻ)

(*) \( \Rightarrow \)\(\left( {C_{2n + 1}^{2n + 1} + ... + C_{2n + 1}^1} \right) + \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) = 2.1024\)

\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2048\)

\( \Leftrightarrow {\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = 2048\)\( \Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = 2048\)\( \Leftrightarrow 2n + 1 = 11\)\( \Leftrightarrow n = 5\)

\( + )\)Số hạng tổng quát của khai triển: \({\left( {2 - 3x} \right)^{10}}\)là: \({T_{k + 1}} = C_{10}^k{.2^{10 - k}}.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^k}\)

Số hạng chứa \({x^5}\)\( \Rightarrow {x^5} = {x^k}\)\( \Leftrightarrow k = 5\)

\( \Rightarrow \) Hệ số của số hạng chứa\({x^5}\)là: \(C_{10}^5{.2^5}.{\left( { - 3} \right)^5} = - 1959552\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.