Cho \(x;\,\,y\) là các só thực dương thỏa mãn \(xy \le 1\). Chứng minh rằng;\(\dfrac{1}{{1 + x}} +

Câu hỏi số 390131:

Vận dụng cao

Cho \(x;\,\,y\) là các só thực dương thỏa mãn \(xy \le 1\). Chứng minh rằng;\(\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 + y}} \le \dfrac{2}{{1 + \sqrt {xy} }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390131

Phương pháp giải

Chứng minh theo cách tương đương.

Giải chi tiết

Có \(\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 + y}} \le \dfrac{2}{{1 + \sqrt {xy} }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 + x + y} \right)\left( {1 + \sqrt {xy} } \right) \le 2\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {xy} + x + x\sqrt {xy} + y + y\sqrt {xy} + 2 \le 2 + 2x + 2y + 2xy\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {\sqrt {xy} - 1} \right) + 2\left( {1 - \sqrt {xy} } \right)\sqrt {xy} \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sqrt {xy} - x - y} \right)\left( {1 - \sqrt {xy} } \right) \le 0\left( * \right)\end{array}\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 2\sqrt {xy} \Rightarrow 2\sqrt {xy} - x - y \le 0\\xy \le 1 \Rightarrow 1 - \sqrt {xy} \ge 0\end{array} \right.\)

Do đó bất đẳng thức (*) luôn đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link