Cho đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;6} \right),B\left( {2;5} \right).\) Điểm

Câu hỏi số 393523:

Vận dụng cao

Cho đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;6} \right),B\left( {2;5} \right).\) Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d\) thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị \(P = a + b.\)

A. \(P = \frac{{49}}{{10}}.\)

B. \(P = \frac{{49}}{5}.\)

C. \(P = \frac{{49}}{{20}}.\)

D. \(P = \frac{{49}}{{15}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393523

Phương pháp giải

Tính \(M{A^2} + M{B^2}\) theo tọa độ điểm \(M\) từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của \(M{A^2} + M{B^2}\) và tọa độ điểm \(M\) tương ứng khi đó.

Giải chi tiết

Ta có \(M \in d:\,\,\,x - 2y + 2 = 0 \Rightarrow M\left( {a;\frac{{a + 2}}{2}} \right).\)

Khi đó: \(M{A^2} + M{B^2} = \left[ {{{\left( { - a} \right)}^2} + {{\left( {6 - \frac{{a + 2}}{2}} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( {5 - \frac{{a + 2}}{2}} \right)}^2}} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} = {a^2} + \frac{{{{\left( {10 - a} \right)}^2}}}{4} + {a^2} - 4a + 4 + \frac{{{{\left( {8 - a} \right)}^2}}}{4}\\ = 2{a^2} - 4a + 4 + \frac{{{a^2}}}{2} - 9a + 41\\ = \frac{5}{2}{a^2} - 13a + 45 = \frac{5}{2}\left( {{a^2} - \frac{{26}}{5}a} \right) + 45\\ = \frac{5}{2}{\left( {a - \frac{{13}}{5}} \right)^2} + \frac{{281}}{{10}} \ge \frac{{281}}{{10}}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a - \frac{{13}}{5} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{13}}{5}\) \( \Rightarrow b = \frac{{\frac{{13}}{5} + 2}}{2} = \frac{{23}}{{10}}\)

\( \Rightarrow a + b = \frac{{13}}{5} + \frac{{23}}{{10}} = \frac{{49}}{{10}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.