Cho đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;6} \right),B\left( {2;5} \right).\) Điểm

Câu hỏi số 393523:

Vận dụng cao

Cho đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;6} \right),B\left( {2;5} \right).\) Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d\) thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị \(P = a + b.\)

A. \(P = \frac{{49}}{{10}}.\)

B. \(P = \frac{{49}}{5}.\)

C. \(P = \frac{{49}}{{20}}.\)

D. \(P = \frac{{49}}{{15}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393523

Phương pháp giải

Tính \(M{A^2} + M{B^2}\) theo tọa độ điểm \(M\) từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của \(M{A^2} + M{B^2}\) và tọa độ điểm \(M\) tương ứng khi đó.

Giải chi tiết

Ta có \(M \in d:\,\,\,x - 2y + 2 = 0 \Rightarrow M\left( {a;\frac{{a + 2}}{2}} \right).\)

Khi đó: \(M{A^2} + M{B^2} = \left[ {{{\left( { - a} \right)}^2} + {{\left( {6 - \frac{{a + 2}}{2}} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( {5 - \frac{{a + 2}}{2}} \right)}^2}} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} = {a^2} + \frac{{{{\left( {10 - a} \right)}^2}}}{4} + {a^2} - 4a + 4 + \frac{{{{\left( {8 - a} \right)}^2}}}{4}\\ = 2{a^2} - 4a + 4 + \frac{{{a^2}}}{2} - 9a + 41\\ = \frac{5}{2}{a^2} - 13a + 45 = \frac{5}{2}\left( {{a^2} - \frac{{26}}{5}a} \right) + 45\\ = \frac{5}{2}{\left( {a - \frac{{13}}{5}} \right)^2} + \frac{{281}}{{10}} \ge \frac{{281}}{{10}}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a - \frac{{13}}{5} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{13}}{5}\) \( \Rightarrow b = \frac{{\frac{{13}}{5} + 2}}{2} = \frac{{23}}{{10}}\)

\( \Rightarrow a + b = \frac{{13}}{5} + \frac{{23}}{{10}} = \frac{{49}}{{10}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10