Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\)

Câu hỏi số 394726:

Thông hiểu

Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có cạnh \(AB = 3;\)\(BC = 4\) và góc giữa \(DC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

A. \(V = \dfrac{{125\sqrt 3 }}{3}\pi \)

B. \(V = \dfrac{{25\sqrt 2 }}{3}\pi \)

C. \(V = \dfrac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi \)

D. \(V = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{3}\pi \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:394726

Phương pháp giải

- Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\), sử dụng định lí: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền chứng minh \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ...

- Áp dụng định lí Pytago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính bán kính khối cầu.

- Sử dụng công thức: Thể tích khối cầu bán kính \(R\) là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot AD\,\,\left( {AD \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow BC \bot BD.\)

Suy ra \(\Delta BCD\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow IB = IC = ID\) (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền).

Lại có \(\Delta ACD\) vuông tại \(A\) (do \(AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AD \bot AC\)) \( \Rightarrow IA = IC = ID\).

Do đó \(IA = IB = IC = ID\) hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\). Khi đó bán kính mặt cầu là \(R = IC = \dfrac{{CD}}{2}.\)

Ta có: \(AD \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(CD\) lên \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {CD;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {CD;CA} \right) = \angle ACD = {45^0}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\) (định lí Pytago).

Xét tam giác vuông \(ACD\) có: \(CD = \dfrac{{AC}}{{\cos {{45}^0}}} = 5\sqrt 2 \) \( \Rightarrow R = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi .\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.