Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\) với \(x > 1\)

Câu hỏi số 394803:

Vận dụng

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\) với \(x > 1\) là:

A. \(3\)

B. \(2\sqrt 2 \)

C. \(2\)

D. \(\frac{5}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:394803

Phương pháp giải

Với điều kiện \(x > 1\) ta có: \(\frac{x}{2},\,\,\frac{2}{{x - 1}}\) là các số dương. Biến đổi các biểu thức đã cho và áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}} = \left( {\frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}}} \right) + \frac{1}{2}\)

Với \(x > 1\) ta có: \(\frac{{x - 1}}{2},\,\,\,\frac{2}{{x - 1}}\) là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(\frac{{x - 1}}{2},\,\,\,\frac{2}{{x - 1}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{x - 1}}{2}.\frac{2}{{x - 1}}} = 2\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2} \ge 2 + \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge \frac{5}{2}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{2} = \frac{2}{{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 4\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\x - 1 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\) với \(x > 1\) là \(\frac{5}{2}\) khi \(x = 3.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.