Cho các số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{{a + b +

Câu hỏi số 397608:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{{a + b + c}}{{\sqrt 3 \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \ge 4.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:397608

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp chuẩn hóa và các bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwarz.

Giải chi tiết

Bất đẳng thức đồng bậc nên ta chuẩn hóa \(a + b + c = 3.\)

Đặt \(P = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{{a + b + c}}{{\sqrt 3 \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.\)

Có \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{{{a^2}}}{{ab}} + \frac{{{b^2}}}{{bc}} + \frac{{{c^2}}}{{ca}} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{ab + bc + ca}} = \frac{9}{{ab + bc + ca}}\) (áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).

Lại có \(\sqrt 3 .\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \le \frac{{3 + {a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}\) (theo bất đẳng thức AM-GM)

\( \Rightarrow P \ge \frac{9}{{ab + bc + ca}} + \frac{6}{{3 + {a^2} + {b^2} + {c^2}}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{9}{{ab + bc + ca}} + \frac{6}{{3 + {a^2} + {b^2} + {c^2}}}\\ = \frac{6}{{ab + bc + ca}} + 6\left[ {\frac{1}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}} + \frac{1}{{3 + {a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right]\\ \ge \frac{6}{{ab + bc + ca}} + 6.\frac{4}{{2\left( {ab + bc + ca} \right) + 3 + {a^2} + {b^2} + {c^2}}}\\ = \frac{6}{{ab + bc + ca}} + \frac{{24}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2} + 3}} = \frac{6}{{ab + bc + ca}} + 2.\end{array}\)

Lại có \(ab + bc + ca \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = 3\) \( \Rightarrow \frac{6}{{ab + bc + ca}} \ge 2 \Rightarrow P \ge 2 + 2 = 4\)

Vậy \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{{a + b + c}}{{\sqrt 3 \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \ge 4\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link