Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn \(f'\left( x

Câu hỏi số 399168:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f'\left( x \right) - x.f\left( x \right) = 0,\,\,f\left( x \right) > 0,$ $\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right) = 1$ . Giá trị của $f\left( {\sqrt 2 } \right)$ bằng:

$e$

$\dfrac{1}{e}$

${e^2}$

$\sqrt e$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399168

Phương pháp giải

- Tìm hàm số $y = f\left( x \right)$ , sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế với $\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \ln \left| {f\left( x \right)} \right| + C;\,\,\,\,f\left( 0 \right) = 1$ .

- Tính giá trị của $f\left( {\sqrt 2 } \right)$ .

Giải chi tiết

Theo giả thiết ta có: $f'\left( x \right) - x.f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = x$ .

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: $\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int {xdx} \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + C,\,\,\,\left( {\forall f\left( x \right) > 0} \right).$

Mặt khác, $f\left( 0 \right) = 1$ nên $\ln f\left( 0 \right) = \dfrac{{{0^2}}}{2} + C \Leftrightarrow \ln 1 = C \Leftrightarrow C = 0.$

Do đó, $\ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}.$

Vậy $f\left( {\sqrt 2 } \right) = {e^{\dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{2}}} = e.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.