Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x

Câu hỏi số 399168:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) - x.f\left( x \right) = 0,\,\,f\left( x \right) > 0,\)\(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \(f\left( {\sqrt 2 } \right)\) bằng:

A. \(e\)

B. \(\dfrac{1}{e}\)

C. \({e^2}\)

D. \(\sqrt e \)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:399168

Phương pháp giải

- Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\), sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế với \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \ln \left| {f\left( x \right)} \right| + C;\,\,\,\,f\left( 0 \right) = 1\).

- Tính giá trị của \(f\left( {\sqrt 2 } \right)\).

Giải chi tiết

Theo giả thiết ta có: \(f'\left( x \right) - x.f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = x\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int {xdx} \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + C,\,\,\,\left( {\forall f\left( x \right) > 0} \right).\)

Mặt khác, \(f\left( 0 \right) = 1\) nên \(\ln f\left( 0 \right) = \dfrac{{{0^2}}}{2} + C \Leftrightarrow \ln 1 = C \Leftrightarrow C = 0.\)

Do đó, \(\ln f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}.\)

Vậy \(f\left( {\sqrt 2 } \right) = {e^{\dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{2}}} = e.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.