Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;\,2;\,5} \right),\,\,B\left( {3;\,4;\,1}

Câu hỏi số 399167:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;\,2;\,5} \right),\,\,B\left( {3;\,4;\,1} \right),\,\,C\left( {2;\,3;\, - 3} \right)\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(M\) là điểm thay đổi trên \(mp\left( {Oxz} \right)\). Độ dài \(GM\) ngắn nhất bằng

A. \(4\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:399167

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ điểm \(G\): \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\).

- Đoạn thẳng \(GM\) có độ dài ngắn nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(G\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right).\)

- Hình chiếu của điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) lên \(\left( {Oxz} \right)\) là \(M'\left( {a;0;c} \right)\).

Giải chi tiết

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{{1 + 3 + 2}}{3} = 2\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \dfrac{{2 + 4 + 3}}{3} = 3\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \dfrac{{5 + 1 - 3}}{3} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {2;3;1} \right).\)

Do \(M\) là điểm nằm trên \(mp\left( {Oxz} \right)\) và \(MG\) ngắn nhất nên \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) lên \(\left( {Oxz} \right).\)

Do đó, \(M\left( {2;0;1} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MG} \left( {0;3;0} \right) \Rightarrow MG = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {0^2}} = 3.\)

Vậy .. có độ dài ngắn nhất bằng \(3\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.