Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(SB\) và \(SD\); mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) cắt \(SC\) tại \(I\). Tính thể tích khối đa diện \(ABCDMNI\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Tính tỉ số \(\dfrac{{SI}}{{SC}}\).
- Sử dụng công thức tỉ số thể tích: Cho tứ diện\(S.ABC\). Các điểm \(M,N,P\) lần lượt nằm trên các cạnh \(SA,\,\,SB,\,\,SC\) thì \(\dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}.\)
- Tính tỉ số thể tích \(\dfrac{{{V_{S.ANMI}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\) để tính thể tích khối \(ABCDMNI\).
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right),\) gọi \(K = SO \cap MN\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right),\) gọi \(I = AK \cap SC\), suy ra \(I\) chính là giao điểm của \(SC\) và \(mp\left( {AMN} \right)\).
Ta có:
\(MN\) là đường trung bình trong tam giác \(SBD\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel BD\\MN = \dfrac{1}{2}BD\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow NK\parallel DO \Rightarrow \dfrac{{SK}}{{SO}} = \dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{1}{2}.\)
Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác \(SOC\) có cát tuyến \(AKI\):
\(\dfrac{{SI}}{{IC}}.\dfrac{{AC}}{{AO}}.\dfrac{{KO}}{{KS}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{SI}}{{IC}}.2.1 = 1\)\( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{IC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SC}} = \dfrac{1}{3}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.ANI}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SD}}.\dfrac{{SI}}{{SC}} = 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{S.ANI}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ADC}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\\\dfrac{{{V_{S.AIM}}}}{{{V_{S.ACB}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SI}}{{SC}}.\dfrac{{SM}}{{SB}} = 1.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{S.AIM}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ADC}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.ANIM}} = {V_{S.ANI}} + {V_{AIM}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} + \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{ABCDMNI}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.ANIM}} = \dfrac{5}{6}{V_{S.ABCD}}.\end{array}\)
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\)là: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}.\)
Vậy thể tích của khối đa diện \(ABCDMNI\) là: \({V_{ABCDMNI}} = \dfrac{5}{6}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{{5\sqrt 3 {a^3}}}{{18}}.\)
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
