Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 399174:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $SA = a\sqrt 3$ . Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $SB$ và $SD$ ; mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$ cắt $SC$ tại $I$ . Tính thể tích khối đa diện $ABCDMNI$ .

\frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{18}

$\dfrac{{5\sqrt 3 {a^3}}}{{18}}$

\frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{6}

$\dfrac{{5\sqrt 3 {a^3}}}{6}$

\frac{13 \sqrt{3} a^{3}}{36}

$\dfrac{{13\sqrt 3 {a^3}}}{{36}}$

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{18}

$\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{18}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399174

Phương pháp giải

- Tính tỉ số $\dfrac{{SI}}{{SC}}$ .

- Sử dụng công thức tỉ số thể tích: Cho tứ diện $S.ABC$ . Các điểm $M,N,P$ lần lượt nằm trên các cạnh $SA,\,\,SB,\,\,SC$ thì $\dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}.$

- Tính tỉ số thể tích $\dfrac{{{V_{S.ANMI}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}$ để tính thể tích khối $ABCDMNI$ .

Giải chi tiết

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ .

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right),$ gọi $K = SO \cap MN$ .

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right),$ gọi $I = AK \cap SC$ , suy ra $I$ chính là giao điểm của $SC$ và $mp\left( {AMN} \right)$ .

Ta có:

$MN$ là đường trung bình trong tam giác $SBD$ , suy ra $\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel BD\\MN = \dfrac{1}{2}BD\end{array} \right.$

$\Rightarrow NK\parallel DO \Rightarrow \dfrac{{SK}}{{SO}} = \dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{1}{2}.$

Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác $SOC$ có cát tuyến $AKI$ :

$\dfrac{{SI}}{{IC}}.\dfrac{{AC}}{{AO}}.\dfrac{{KO}}{{KS}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{SI}}{{IC}}.2.1 = 1$ $\Rightarrow \dfrac{{SI}}{{IC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SC}} = \dfrac{1}{3}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.ANI}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SD}}.\dfrac{{SI}}{{SC}} = 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{S.ANI}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ADC}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\\\dfrac{{{V_{S.AIM}}}}{{{V_{S.ACB}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SI}}{{SC}}.\dfrac{{SM}}{{SB}} = 1.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{S.AIM}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ADC}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.ANIM}} = {V_{S.ANI}} + {V_{AIM}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} + \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{ABCDMNI}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.ANIM}} = \dfrac{5}{6}{V_{S.ABCD}}.\end{array}$

Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}.$

Vậy thể tích của khối đa diện $ABCDMNI$ là: ${V_{ABCDMNI}} = \dfrac{5}{6}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{{5\sqrt 3 {a^3}}}{{18}}.$

Chọn A.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.