Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình ${4^x} - m{.2^{x + 1}} + 4m = 0$ có hai nghiệm phân

Câu hỏi số 399176:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình ${4^x} - m{.2^{x + 1}} + 4m = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$ và ${x_1} + {x_2} = 3$ là

1

$1$

2

$2$

3

$3$

0

$0$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399176

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ $t = {2^x}\,\,\,\left( {t > 0} \right)$ , đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn $t$ .

- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn $t$ để phương trình ẩn $x$ có 2 nghiệm phân biệt.

- Sử dụng dữ kiện ${x_1} + {x_2} = 3$ . Áp dụng định lí Vi-ét sau đó giải phương trình tìm $m$ .

Giải chi tiết

TXĐ : $D = \mathbb{R}$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{4^x} - m{.2^{x + 1}} + 4m = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 2m{.2^x} + 4m = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Đặt $t = {2^x}\,\,\,\left( {t > 0} \right)$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: ${t^2} - 2mt + 4m = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m > 0\\2m > 0\\4m > 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < 0\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 4\,\,\,\left( * \right)$

Gọi ${t_1},\,\,{t_2}$ là hai nghiệm dương phân biệt của phương trình (2), ta có: ${t_1} = {2^{{x_1}}},\,\,{t_2} = {2^{{x_2}}}$ .

$\Rightarrow {t_1}.{t_2} = {2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^3} = 8$ .

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: ${t_1}{t_2} = 4m$ $\Rightarrow 4m = 8 \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right).$

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.