Số giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({4^x} - m{.2^{x + 1}} + 4m = 0\) có hai nghiệm phân

Câu hỏi số 399176:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({4^x} - m{.2^{x + 1}} + 4m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) và \({x_1} + {x_2} = 3\) là

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:399176

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = {2^x}\,\,\,\left( {t > 0} \right)\), đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn \(t\) để phương trình ẩn \(x\) có 2 nghiệm phân biệt.

- Sử dụng dữ kiện \({x_1} + {x_2} = 3\). Áp dụng định lí Vi-ét sau đó giải phương trình tìm \(m\).

Giải chi tiết

TXĐ :\(D = \mathbb{R}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{4^x} - m{.2^{x + 1}} + 4m = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 2m{.2^x} + 4m = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {2^x}\,\,\,\left( {t > 0} \right)\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \({t^2} - 2mt + 4m = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m > 0\\2m > 0\\4m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < 0\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 4\,\,\,\left( * \right)\)

Gọi \({t_1},\,\,{t_2}\) là hai nghiệm dương phân biệt của phương trình (2), ta có: \({t_1} = {2^{{x_1}}},\,\,{t_2} = {2^{{x_2}}}\).

\( \Rightarrow {t_1}.{t_2} = {2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^3} = 8\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \({t_1}{t_2} = 4m\) \( \Rightarrow 4m = 8 \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right).\)

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.