Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A\left( {3;\, - 2;\, - 2} \right)$ và mặt

Câu hỏi số 399181:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A\left( {3;\, - 2;\, - 2} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - y - z + 1 = 0$ . Mặt phẳng $\left( Q \right):ax + by + cz + d = 0$ đi qua $A$ , vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ cắt hai tia $Oy,\,\,Oz$ lần lượt tại hai điểm phân biệt $M,\,\,N$ sao cho $OM = ON$ ( $O$ là gốc tọa độ). Tìm $\dfrac{d}{a}$ ?

3

$3$

2

$2$

1

$1$

- 1

$- 1$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399181

Phương pháp giải

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì VTPT của 2 mặt phẳng đó cũng vuông góc với nhau.

Sử dụng các dữ kiện bài toán, lập hệ phương trình, tìm các ẩn $a,\,\,b,\,\,c,\,\,d$ .

Giải chi tiết

Theo giả thiết ta có :

$\begin{array}{l}\left( P \right):\,\,x - y - z + 1 = 0 \Rightarrow {\rm{VTPT:}}\,\,\,\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\left( Q \right):ax + by + cz + d = 0\,\, \Rightarrow {\rm{VTPT:}}\,\,\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( {a;b;c} \right)\\\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow a - b - c = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( {3;\, - 2;\, - 2} \right)$ nên $3a - 2b - 2c + d = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Mặt phẳng $\left( Q \right):ax + by + cz + d = 0$ cắt tia $Oy$ tại $M\left( {0;\,\dfrac{{ - d}}{b};0} \right)$ , cắt tia $Oz$ tại điểm $N\left( {0;0;\,\dfrac{{ - d}}{c}} \right)$

Do $OM = ON$ nên $\left| {\dfrac{{ - d}}{b}} \right| = \left| { - \dfrac{d}{c}} \right| \Leftrightarrow \left| b \right| = \left| c \right|\,\,\,\,\left( {d \ne 0} \right)$

TH1: $b = - c$ , từ (1) và (2) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a = b + c\\3a + d = 2b + 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\3a + d = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow a = d = 0$ (Loại).

TH2: $b = c$ , từ (1) và (2) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a = b + c\\3a + d = 2b + 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\3a + d = 4b\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\d = - 2b\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{d}{a} = - 1.$

Vậy $\dfrac{d}{a} = - 1.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.