Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {3;\, - 2;\, - 2} \right)\) và mặt

Câu hỏi số 399181:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {3;\, - 2;\, - 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - z + 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right):ax + by + cz + d = 0\) đi qua \(A\), vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cắt hai tia \(Oy,\,\,Oz\) lần lượt tại hai điểm phân biệt \(M,\,\,N\) sao cho \(OM = ON\) (\(O\) là gốc tọa độ). Tìm \(\dfrac{d}{a}\)?

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \( - 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399181

Phương pháp giải

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì VTPT của 2 mặt phẳng đó cũng vuông góc với nhau.

Sử dụng các dữ kiện bài toán, lập hệ phương trình, tìm các ẩn \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\).

Giải chi tiết

Theo giả thiết ta có :

\(\begin{array}{l}\left( P \right):\,\,x - y - z + 1 = 0 \Rightarrow {\rm{VTPT:}}\,\,\,\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\left( Q \right):ax + by + cz + d = 0\,\, \Rightarrow {\rm{VTPT:}}\,\,\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( {a;b;c} \right)\\\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow a - b - c = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {3;\, - 2;\, - 2} \right)\) nên \(3a - 2b - 2c + d = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right):ax + by + cz + d = 0\) cắt tia \(Oy\) tại \(M\left( {0;\,\dfrac{{ - d}}{b};0} \right)\), cắt tia \(Oz\) tại điểm \(N\left( {0;0;\,\dfrac{{ - d}}{c}} \right)\)

Do \(OM = ON\) nên \(\left| {\dfrac{{ - d}}{b}} \right| = \left| { - \dfrac{d}{c}} \right| \Leftrightarrow \left| b \right| = \left| c \right|\,\,\,\,\left( {d \ne 0} \right)\)

TH1:\(b = - c\), từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b + c\\3a + d = 2b + 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\3a + d = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a = d = 0\) (Loại).

TH2: \(b = c\), từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b + c\\3a + d = 2b + 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\3a + d = 4b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\d = - 2b\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{d}{a} = - 1.\)

Vậy \(\dfrac{d}{a} = - 1.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.