Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {3;\, - 2;\, - 2} \right)\) và mặt

Câu hỏi số 399181:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {3;\, - 2;\, - 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - z + 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right):ax + by + cz + d = 0\) đi qua \(A\), vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cắt hai tia \(Oy,\,\,Oz\) lần lượt tại hai điểm phân biệt \(M,\,\,N\) sao cho \(OM = ON\) (\(O\) là gốc tọa độ). Tìm \(\dfrac{d}{a}\)?

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \( - 1\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:399181

Phương pháp giải

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì VTPT của 2 mặt phẳng đó cũng vuông góc với nhau.

Sử dụng các dữ kiện bài toán, lập hệ phương trình, tìm các ẩn \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\).

Giải chi tiết

Theo giả thiết ta có :

\(\begin{array}{l}\left( P \right):\,\,x - y - z + 1 = 0 \Rightarrow {\rm{VTPT:}}\,\,\,\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\left( Q \right):ax + by + cz + d = 0\,\, \Rightarrow {\rm{VTPT:}}\,\,\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( {a;b;c} \right)\\\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow a - b - c = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {3;\, - 2;\, - 2} \right)\) nên \(3a - 2b - 2c + d = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right):ax + by + cz + d = 0\) cắt tia \(Oy\) tại \(M\left( {0;\,\dfrac{{ - d}}{b};0} \right)\), cắt tia \(Oz\) tại điểm \(N\left( {0;0;\,\dfrac{{ - d}}{c}} \right)\)

Do \(OM = ON\) nên \(\left| {\dfrac{{ - d}}{b}} \right| = \left| { - \dfrac{d}{c}} \right| \Leftrightarrow \left| b \right| = \left| c \right|\,\,\,\,\left( {d \ne 0} \right)\)

TH1:\(b = - c\), từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b + c\\3a + d = 2b + 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\3a + d = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a = d = 0\) (Loại).

TH2: \(b = c\), từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b + c\\3a + d = 2b + 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\3a + d = 4b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\d = - 2b\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{d}{a} = - 1.\)

Vậy \(\dfrac{d}{a} = - 1.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.