Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(1 < a < b < 100\) để phương

Câu hỏi số 399184:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(1 < a < b < 100\) để phương trình \({a^{{b^x}}} = {b^{{a^x}}}\) có nghiệm nhỏ hơn 1?

A. \(4751\)

B. \(4656\)

C. \(2\)

D. \(4750\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:399184

Phương pháp giải

- Sử dụng: \(b = c > 0 \Leftrightarrow {\log _a}b = {\log _a}c\,\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)\).

- Lấy logarit 2 vế để hạ bậc, đưa \(x\) về dưới dạng thừa số.

- Sử dụng điều kiện \(x < 1\) để giải bài toán.

Giải chi tiết

Do \(1 < a < b < 100\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}{a^{{b^x}}} = {b^{{a^x}}} > 0\\ \Leftrightarrow {\log _a}{a^{{b^x}}} = {\log _a}{b^{{a^x}}}\\ \Leftrightarrow {b^x}.{\log _a}a = {a^x}{\log _a}b\\ \Leftrightarrow {b^x} = {a^x}.{\log _a}b\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^x} = {\log _a}b\\ \Leftrightarrow x = {\log _{\dfrac{b}{a}}}\left( {{{\log }_a}b} \right)\end{array}\)

Phương trình đã cho có nghiệm nhỏ hơn 1 nên ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{\dfrac{b}{a}}}\left( {{{\log }_a}b} \right) < 1 \Leftrightarrow {\log _a}b < \dfrac{b}{a}\,\,\,\left( {Do\,\,a < b \Rightarrow \dfrac{b}{a} > 1} \right)\\ \Leftrightarrow b < {a^{\dfrac{b}{a}}} \Leftrightarrow {b^a} < {\left( {{a^{\dfrac{b}{a}}}} \right)^a}\,\,\,\left( {Do\,\,a > 1} \right)\\ \Leftrightarrow {b^a} < {a^b}\\ \Leftrightarrow {\log _a}{b^a} < {\log _a}{a^b}\,\,\,\left( {Do\,\,a > 1} \right)\\ \Leftrightarrow a.{\log _a}b < b\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \({\log _a}b = t \Rightarrow b = {a^t}\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow a.t < {a^t}\) với \(b > a > 1 \Rightarrow t > 1.\)

Do \(1 < a < b < 100;\,\,a,b \in \mathbb{Z}\) nên ta có:

+) Với \(a = 2\) thì \({2^t} > 2t \Leftrightarrow {2^t} - 2t > 0\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} - 2t\) ta có: \(f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 - 2 > 0\)

BBT của hàm số \(f\left( t \right)\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) như sau:

Từ BBT trên ta thấy \(f\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow t > 2 \Leftrightarrow b > {2^t} = 4\)

Mà \(b \in \mathbb{Z};\,\,b < 100 \Rightarrow b \in \left\{ {5;6;7;8;....;99} \right\}\), có 95 số thỏa mãn.

+) Với \(a \ge 3\), xét hàm số \(f\left( t \right) = {a^t} - at\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = {a^t}.\ln a - a\\a \ge 3 \Rightarrow \ln a > 1 \Rightarrow f'\left( t \right) = {a^t}.\ln a - a > {a^t} - a > 0,\,\,\,\forall a \ge 3,\,\,t > 1\end{array}\)

Do đó, hàm số luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Mặt khác, \(f\left( 1 \right) = {a^1} - a.1 = 0\) nên \(f\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow t > 1\)

Suy ra \(a = 3 \Rightarrow b > 3 \Rightarrow b \in \left\{ {4;5;6;....;99} \right\}\), có 96 số thỏa mãn.

\(a = 4 \Rightarrow b > 4 \Rightarrow b \in \left\{ {5;6;7;8;....;99} \right\}\); có 95 số thỏa mãn.

\(a = 5 \Rightarrow b > 5 \Rightarrow b \in \left\{ {6;7;8;9;...;99} \right\}\) có 94 số thỏa mãn.

……..

\(a = 98 \Rightarrow b > 98 \Rightarrow b = 99\), có 1 số thỏa mãn,

\(a = 99 \Rightarrow b = 100\left( L \right)\)

Vậy số các cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

\(95 + \left( {96 + 95 + 94 + .... + 1} \right) = 95 + \dfrac{{97.96}}{2} = 4751.\)

Chọn A.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.