Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 4\) và \({\left( {{x^2} + 3} \right)^2}f'\left(

Câu hỏi số 399186:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 4\) và \({\left( {{x^2} + 3} \right)^2}f'\left( x \right) = 2x.{f^2}\left( x \right);\,\,f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(f\left( 3 \right)\) bằng

A. \(9\)

B. \(6\)

C. \(2019\)

D. \(12\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:399186

Phương pháp giải

- Sử dụng: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} = - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\), chuyển vế, tính nguyên hàm để tìm \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = {x^2} + 3 \Rightarrow dt = 2xdx\) \( \Rightarrow \int {\dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}dx} = \int {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}} = - \dfrac{1}{t} = \dfrac{{ - 1}}{{{x^2} + 3}}\)

Do đó, ta có :

\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} + 3} \right)^2}.f'\left( x \right) = 2x.{f^2}\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = \dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} = \int {\dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{{x^2} + 3}} + C\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 3 + C\\f\left( 1 \right) = 4 \Leftrightarrow 4 = {1^2} + 3 + C \Rightarrow C = 0\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 3\end{array}\)

Vậy \(f\left( 3 \right) = {3^2} + 3 = 12.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.