Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 4$ và \({\left( {{x^2} + 3} \right)^2}f'\left(

Câu hỏi số 399186:

Vận dụng cao

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 4$ và ${\left( {{x^2} + 3} \right)^2}f'\left( x \right) = 2x.{f^2}\left( x \right);\,\,f\left( x \right) \ne 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Giá trị của $f\left( 3 \right)$ bằng

$9$

$6$

$2019$

$12$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399186

Phương pháp giải

- Sử dụng: $\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} = - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}$ , chuyển vế, tính nguyên hàm để tìm $f\left( x \right)$ .

Giải chi tiết

Đặt $t = {x^2} + 3 \Rightarrow dt = 2xdx$ $\Rightarrow \int {\dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}dx} = \int {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}} = - \dfrac{1}{t} = \dfrac{{ - 1}}{{{x^2} + 3}}$

Do đó, ta có :

$\begin{array}{l}{\left( {{x^2} + 3} \right)^2}.f'\left( x \right) = 2x.{f^2}\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = \dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} = \int {\dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{{x^2} + 3}} + C\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 3 + C\\f\left( 1 \right) = 4 \Leftrightarrow 4 = {1^2} + 3 + C \Rightarrow C = 0\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 3\end{array}$

Vậy $f\left( 3 \right) = {3^2} + 3 = 12.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.