Tìm số giá trị nguyên của $m \in \left[ { - 2020;2020} \right]$ để hàm số \(y = \left| {{x^3} - 6{x^2}

Câu hỏi số 399187:

Vận dụng cao

Tìm số giá trị nguyên của $m \in \left[ { - 2020;2020} \right]$ để hàm số $y = \left| {{x^3} - 6{x^2} + 5 + m} \right|$ đồng biến trên $\left( {5; + \infty } \right)$ .

2019

$2019$

2000

$2000$

2001

$2001$

2018

$2018$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399187

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 6{x^2} + 5 + m} \right|$ , sử dụng công thức tính đạo hàm: $\left( {\left| u \right|} \right)' = \dfrac{u}{{\left| u \right|}}.u'$ .

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ khi nó xác định và liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ đồng thời $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)$ . (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

- Giải bất phương trình $f'\left( x \right) \ge 0,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)$ để tìm giá trị của $m$ thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l}y = g\left( x \right) = \left| {{x^3} - 6{x^2} + 5 + m} \right|\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {3{x^2} - 12x} \right).\left( {{x^3} - 6{x^2} + 5 + m} \right)}}{{\left| {{x^3} - 6{x^2} + 5 + m} \right|}}\end{array}$

Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {5; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi $g'\left( x \right) \ge 0,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)$

Do $3{x^2} - 12x = 3x\left( {x - 4} \right) > 0,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)$ nên ta có:

$\begin{array}{l}g'\left( x \right) \ge 0,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 5 + m \ge 0,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow - m \le {x^3} - 6{x^2} + 5,\,\,\,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {5; + \infty } \right)} f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 5\end{array}$

BBT của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 5$ như sau:

Từ BBT ta thấy: $\mathop {\min }\limits_{\left( {5; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = - 20 \Rightarrow - m \le - 20 \Leftrightarrow m \ge 20$

Mặt khác $m \in \mathbb{Z};\,\,\,m \in \left[ { - 2020;2020} \right]$ nên $m \in \left\{ {20;21;22;23;....;2020} \right\}$

Vậy có $2001$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.

Chọn C.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.